MATEMANIJA

Trebala mi je pomoc oko sledeceg integrala: [inlmath]\int\sqrt{\text{tg }x}\,\mathrm dx[/inlmath]. Pokusala sam kao trigonometrijske smene ali ne dobijam nista. Nadam se da neko ima ideju.

Ja bih ovo zapisala na sledeci nacin: [inlmath]\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{\sqrt{\text{tg }x}}{\frac{1}{\cos^2x}}[/inlmath]. Onda ovu jedinicu iz drugog razlomka napises kao [inlmath]\sin^2x+\cos^2x[/inlmath], i kad to sredis uvedes smenu [inlmath]t=\text{tg }x[/inlmath]. Dobices integral racionalne funkcije. Moguce da postoji jednostavniji nacin ali ovo mi je jedino palo na pamet.

Moguće da nisam baš razumeo taj način, hajde da vidimo:
[dispmath]\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{\sqrt{\text{tg }x}}{\frac{1}{\cos^2x}}=\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{\sqrt{\text{tg }x}}{\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}}=\frac{1}{\frac{1}{\cancel{1+\text{tg}^2x}}}\cdot\frac{\sqrt{\text{tg }x}}{\cancel{\text{tg}^2x+1}}=\sqrt{\text{tg }x}[/dispmath] i opet sam na početku.

---

Način na koji bi ovaj integral sigurno mogao da se reši, iako ne previše jednostavan (ne bih baš ni rekao da za ovaj integral postoji neki mnogo jednostavan način), bio bi da prvo uvedemo smenu [inlmath]\text{tg }x=t^2[/inlmath], čime nakon malo sređivanja dobijemo integral [inlmath]\displaystyle\int\frac{2t^2\,\mathrm dt}{t^4+1}[/inlmath] ili, nakon što i brojilac i imenilac podelimo sa [inlmath]t^2[/inlmath],
[dispmath]\int\frac{2\,\mathrm dt}{t^2+\frac{1}{t^2}}[/dispmath] Ovaj imenilac se može napisati bilo kao [inlmath]\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-2[/inlmath], bilo kao [inlmath]\left(t-\frac{1}{t}\right)^2+2[/inlmath]. Kako bismo ovaj izraz u zagradi mogli izjednačiti s novom smenom, zgodno je u brojiocu imati izvod tog izraza. Za prvi izraz izvod bi bio [inlmath]1-\frac{1}{t^2}[/inlmath], a za drugi bi bio [inlmath]1+\frac{1}{t^2}[/inlmath]. I, zaista – ovu dvojku u brojiocu taman možemo napisati kao zbir [inlmath]1-\frac{1}{t^2}[/inlmath] i [inlmath]1+\frac{1}{t^2}[/inlmath], nakon čega ćemo taj integral zbira rastaviti na zbir integrala:
[dispmath]\int\frac{\left(1-\frac{1}{t^2}\right)+\left(1+\frac{1}{t^2}\right)}{t^2+\frac{1}{t^2}}\,\mathrm dt=\int\!\frac{1-\frac{1}{t^2}}{t^2+\frac{1}{t^2}}\,\mathrm dt+\int\!\frac{1+\frac{1}{t^2}}{t^2+\frac{1}{t^2}}\,\mathrm dt=\\
=\int\frac{1-\frac{1}{t^2}}{\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-2}\,\mathrm dt+\int\frac{1+\frac{1}{t^2}}{\left(t-\frac{1}{t}\right)^2+2}\,\mathrm dt=\int\frac{\left(t+\frac{1}{t}\right)'\,\mathrm dt}{\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-2}+\int\frac{\left(t-\frac{1}{t}\right)'\,\mathrm dt}{\left(t-\frac{1}{t}\right)^2+2}[/dispmath] Zatim za prvi integral uvedemo smenu [inlmath]1+\frac{1}{t}=u[/inlmath], a za drugi [inlmath]1-\frac{1}{t}=v[/inlmath]... i dalje ne bi trebalo da bude problema da se to reši...

Ovakva je bila moja ideja. Dakle, kad dodjemo do ovog koraka: [inlmath]\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{\sqrt{\text{tg }x}}{\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}}[/inlmath]. Onda, ovaj prvi cinilac to jest [inlmath]\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}[/inlmath] ne diram, a ovaj drugi se zapise upravo na nacin na koji si ti napisao. Onda uvedem smenu [inlmath]t=\text{tg }x[/inlmath] i onda se kosinusi pokrate i podintegralni izraz postaje: [inlmath]\displaystyle\frac{\sqrt t}{t^2+1}[/inlmath]. Onda bih opet uvela smenu [inlmath]\sqrt t=v[/inlmath] i konacno dobijam: [inlmath]\displaystyle\frac{2v^2}{v^4+1}[/inlmath]. I eto ga isti taj integral, tvoj nacin jeste brzi i bolji. Moja ideja je takodje bila da ovo sada napisem kao [inlmath]\displaystyle\frac{2v^2}{v^4+2v^2-2v^2+1}[/inlmath] i eto onda se to malo sredi i primene se parcijalni razlomci i to je to.

A OK, to je znači bila ideja – da se [inlmath]\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}[/inlmath] ubaci u diferencijal kako bismo dobili [inlmath]\mathrm d(\text{tg }x)[/inlmath]. Može i tako, mada je kosinus tu prilično nepotreban – mogli smo jednostavno u polazni integral da uvedemo smenu [inlmath]\text{tg }x=t[/inlmath], [inlmath]x=\text{arctg }t[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{t^2+1}[/inlmath], čime bismo odmah došli do tog međukoraka [inlmath]\displaystyle\int\frac{\sqrt t}{t^2+1}\,\mathrm dt[/inlmath], zar ne?

Milica8 je napisao:Moja ideja je takodje bila da ovo sada napisem kao [inlmath]\displaystyle\frac{2v^2}{v^4+2v^2-2v^2+1}[/inlmath] i eto onda se to malo sredi i primene se parcijalni razlomci i to je to.

Pretpostavljam da je ovde ideja da se [inlmath]v^4+2v^2+1[/inlmath] napiše kao kvadrat binoma i da se zatim izraz [inlmath]\left(v^2+1\right)^2-\left(\sqrt2v\right)^2[/inlmath] faktoriše kao razlika kvadrata. Da, može i tako, sasvim OK način.

Da, u pravu si, tako je znatno jednostavnije. A sto se tice drugog dela, upravo tako sam htela, grupisem tri sabirka i onda iskoristim razliku kvadrata.