MATEMANIJA

Izracunati povrsinu ogranicenu krivom:
[dispmath]f(x)=x^3-x^2-x-2[/dispmath] [inlmath]x[/inlmath] osom i pravama [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=4[/inlmath]. Resenje pise da je [inlmath]36[/inlmath].
Znam da bih trebao da upotrebim odredjeni integral, takodje znam da bih verovatno treba da upotrebim formulu gde je jedan deo funkcije veci od nule a jedan manji ali ne znam kako da pocnem i da nacrtam ovu funkciju sto mi je data. Do sad sam se susretao sa laksim tipovima ovog zadatka, cak ni ne znam da li je ovo tezi tip ili ne.

Dati interval [inlmath](0,4)[/inlmath] svakako treba razdvojiti na podintervale u kojima je vrednost funkcije pozitivna, odnosno negativna, pa računati zasebno.
Pošto se uvrštavanjem graničnih vrednosti uoči da je [inlmath]f(0)<0[/inlmath] i [inlmath]f(4)>0[/inlmath], a funkcija je neprekidna, jasno je da vrednost [inlmath]f(x)=0[/inlmath] mora da se nalazi negde unutar intervala [inlmath](0,4)[/inlmath].
Nula funkcije može se naći tako što se „sužava obruč“ – uzmemo npr. sredinu prethodno određenog intervala, to je u ovom slučaju [inlmath]x=2[/inlmath]. Ako je [inlmath]f(2)<0[/inlmath], nula se nalazi u intervalu [inlmath](2,4)[/inlmath]; ako je [inlmath]f(2)>0[/inlmath], nula se nalazi u intervalu [inlmath](0,2)[/inlmath]; ako je [inlmath]f(2)=0[/inlmath], znači da smo našli nulu.
Nakon ovoga treba još proveriti da li na intervalu [inlmath](0,4)[/inlmath] ima možda još neka nula. To je sad već lakše, jer početni izraz [inlmath]x^3-x^2-x-2[/inlmath] možemo podeliti sa [inlmath](x-a)[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] nula koju smo malopre pronašli, i dobijemo polinom drugog stepena, za čije traženje nula već znamo formulu.
Preostalo je računanje površine. Pošto je površina po svojoj prirodi pozitivna vrednost, tražimo integral apsolutne vrednosti datog izraza [inlmath]x^3-x^2-x-2[/inlmath] (znači, na intervalu u kom je negativan množimo ga sa [inlmath](-1)[/inlmath], a na intervalu u kom je pozitivan ostavljamo ga takvog kakav jeste.