MATEMANIJA

Pozdrav, potreban mi je savjet oko ovog zadatka.
Zadatak glasi:
Izračunati broj [inlmath]a[/inlmath], tako da vrijedi [dispmath]\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{ax^2+1}=\frac{\pi\sqrt3}{9}[/dispmath] E sada ja sam riješio ovaj određeni integral i to je:
[dispmath]\frac{\sqrt{a}\cdot\text{arctg}\left(\sqrt{a}\right)}{a}[/dispmath] i dobije se:
[dispmath]\frac{\sqrt{a}\cdot\text{arctg}\left(\sqrt{a}\right)}{a}=\frac{\pi\sqrt3}{9}[/dispmath] Sada ja sam zakljucio da je ovdje
[dispmath]a=3[/dispmath] što se ispostavi kao tačan rezultat.
Ono što mi nije jasno, je:
Kako mogu da dobijem ovo [inlmath]a[/inlmath] izračunavanjem ? Bez mog zaključivanja.
Unaprijed Hvala!

Izračunavanjem ne možeš nikako. U pitanju je transcendentna jednačina, koja se ne može rešiti analitičkim putem.
Ovde se do rešenja može doći jedino „napipavanjem“ (što u ovom slučaju i nije veliki problem, ako uočimo da je potkorena veličina na levoj strani [inlmath]a[/inlmath], a na desnoj strani je [inlmath]3[/inlmath]).
Ono što je bitno, to je da, nakon što smo „napipali“ jedno rešenje, sada još dokažemo da je to i jedino rešenje.
A dokazuje se tako što u jednačini [inlmath]\frac{1}{\sqrt a}\cdot\text{arctg}\left(\sqrt{a}\right)=\frac{\pi\sqrt3}{9}[/inlmath] prebacimo [inlmath]\sqrt a[/inlmath] na desnu stranu (pošto smo već proverili da [inlmath]a[/inlmath] ne može biti nula), pa levu stranu posmatramo kao [inlmath]f\left(\sqrt a\right)[/inlmath], a desnu kao [inlmath]g\left(\sqrt a\right)[/inlmath]. Desno imamo linearnu funkciju, čiji je grafik ravna linija, dok levo imamo funkciju arkus tangensa, za čiji grafik takođe znamo kako izgleda. Sa grafika se vidi da za [inlmath]a>0[/inlmath] ta dva grafika mogu imati najviše jednu presečnu tačku, što znači da postoji najviše jedna vrednost [inlmath]\sqrt a[/inlmath] za koju je ta jednačina zadovoljena. A budući da je kvadratni koren injektivna funkcija, samim tim postoji najviše jedna vrednost i samog [inlmath]a[/inlmath], a to je ona koju smo već „napipali“.

Mnogo Hvala za ovaj odgovor!