MATEMANIJA

Evo jednog zanimljivog. Čini mi se da se može rješiti na više načina. Evo što sam radio, valjda može ovako:
[dispmath]\int\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\int\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}\mathrm dx=\int\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)\left(\frac{1-\cos(x)}{2}\right)}\mathrm dx=2\int\frac{\sin x}{\cos^2(x)(1-\cos(x))}\mathrm dx[/dispmath]
pa supstitucija

[inlmath]t=\cos(x)\\
\mathrm dt=-\sin(x)\mathrm dx[/inlmath]
[dispmath]=2\int\frac{\mathrm dt}{t^2(1-t)}[/dispmath] i dalje da ne pišem, rješava se kao običan racionalni integral

Zanima me je li ovaj način rješavanja zadatka ispravan i ako da, postoji li možda jednostavniji način od ovog, a da ga nisam uočio?

eseper je napisao:[dispmath]=2\int\frac{\mathrm dt}{t^2(1-t)}[/dispmath]

Izostavio si minus ispred dvojke. Inače, da, može na taj način, rastavljanje na parcijalne razlomke nas dovodi do rezultata.

A može i ovako:
[dispmath]\cdots=2\int\frac{\sin x}{\cos^2 x\left(1-\cos x\right)}\mathrm dx=2\int\frac{\sin x\left(1-\cos^2 x+\cos^2 x\right)}{\cos^2 x\left(1-\cos x\right)}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=2\int\frac{\sin x\left(1-\cos^2 x\right)}{\cos^2 x\left(1-\cos x\right)}\mathrm dx+2\int\frac{\sin x\cancel{\cos^2 x}}{\cancel{\cos^2 x}\left(1-\cos x\right)}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=2\int\frac{\sin x\left(1+\cos x\right)\cancel{\left(1-\cos x\right)}}{\cos^2 x\cancel{\left(1-\cos x\right)}}\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm d\left(-\cos x\right)}{1-\cos x}=[/dispmath][dispmath]=2\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\mathrm dx+2\int\frac{\sin x\cancel{\cos x}}{\cos^\cancel 2 x}\mathrm dx+2\ln\left|1-\cos x\right|=[/dispmath][dispmath]=-2\int\frac{\mathrm d\left(\cos x\right)}{\cos^2 x}-2\int\frac{\mathrm d\left(\cos x\right)}{\cos x}+2\ln\left|1-\cos x\right|=[/dispmath][dispmath]=\frac{2}{\cos x}-2\ln\left|\cos x\right|+2\ln\left|1-\cos x\right|+c=[/dispmath][dispmath]=\frac{2}{\cos x}+2\ln\left|\frac{1-\cos x}{\cos x}\right|+c[/dispmath]