MATEMANIJA

Naišao sam na sledeći zadatak:
[dispmath]\int\sin^6x\cdot\cos^3x\,\mathrm dx[/dispmath] Prvo sam primetio da je [inlmath]\cos^3x=\cos^2x\cdot\cos x[/inlmath]:
[dispmath]\int\sin^6x\cdot\cos^2x\cdot\cos x\,\mathrm dx.[/dispmath] Zatim sam napisao [inlmath]\cos^2x[/inlmath] kao [inlmath]\cos^2x=1-\sin^2x[/inlmath]:
[dispmath]\int\sin^6x\cdot\left(1-\sin^2x\right)\cdot\cos x\,\mathrm dx.[/dispmath] Iako mislim da bi ovde trebalo uvesti smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath], nisam siguran šta da radim sa [inlmath]\cos x\,\mathrm dx[/inlmath]. Vodeći se postupkom iz nekih prethodnih zadataka, mislim da bi taj deo možda trebalo da izrazim kao [inlmath]\mathrm dt=\cos x\,\mathrm dx[/inlmath], ali ne znam zašto. Iskreno, nisam siguran ni da li se ovde koristi parcijalna integracija ili metoda smene.

U pravu si, ovaj integral se rešava pomoću smene [inlmath]t=\sin x[/inlmath]. Kako je [inlmath]t'_x=\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}[/inlmath] imamo da je [inlmath]t'_x=(\sin x)'_x\;\Longrightarrow\;\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\cos x\;\Longrightarrow\;\mathrm dt=\cos x\,\mathrm dx[/inlmath]