MATEMANIJA

Zdravo! Zapeo sam kod ovog integrala:
[dispmath]\int\!e^x\text{ arctg }\frac{e^x}{e^x+1}\,\mathrm dx[/dispmath]
Prvo što sam uradio je da sam uveo smenu [inlmath]e^x=t[/inlmath], odakle nam je [inlmath]\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}[/inlmath]
Znači, imamo:
[dispmath]\int\!t\text{ arctg }\frac{t}{t+1}\cdot\frac{\mathrm dt}{t}[/dispmath] Odavde sam iskoristio parcijalnu integraciju, gde nam je [inlmath]u=\text{arctg }\frac{1}{t+1}[/inlmath], [inlmath]\mathrm du=-\frac{1}{t^2+2t+2}[/inlmath], [inlmath]\mathrm dv=t\,\mathrm dt[/inlmath] i samo [inlmath]v=\frac{t^2}{2}[/inlmath], čime dobijamo;
[dispmath]\frac{t^2}{2}\text{ arctg }\frac{1}{t+1}+\int\!\frac{t^2}{2}\cdot\frac{1}{t^2+2t+2}\,\mathrm dt[/dispmath] Odavde sam kod desnog integrala uradio sledeće:
[dispmath]t^2:\left(t^2+2t+2\right)=1+\frac{-2t-2}{t^2+2t+2}[/dispmath] Čime se taj deo svodi na:
[dispmath]\int\mathrm dt-2\int\!\frac{t+2}{t^2+2t+2}\,\mathrm dt[/dispmath] Odavde nisam znao šta dalje da iskoristim, jer nisam uspeo dalje da ga pojednostavim. Pokušao sam prvo da rešim kvadratnu pa da rastavim na činioce, ali nije moglo zbog kompleksnih rešenja, onda sam pokušao smenu ali ni to nije dalo rezultata.

Acim je napisao:[dispmath]\int\!t\text{ arctg }\frac{t}{t+1}\cdot\frac{\mathrm dt}{t}[/dispmath] Odavde sam iskoristio parcijalnu integraciju, gde nam je [inlmath]u=\text{arctg }\frac{1}{t+1}[/inlmath], [inlmath]\mathrm du=-\frac{1}{t^2+2t+2}[/inlmath], [inlmath]\mathrm dv=t\,\mathrm dt[/inlmath] i samo [inlmath]v=\frac{t^2}{2}[/inlmath],

Ako sam dobro razumeo ovaj deo, ti si ovde kratio [inlmath]t[/inlmath] koje se nalazi unutar arkus tangensa sa [inlmath]t[/inlmath] koje se nalazi izvan arkus tangensa – a to, naravno, ne smeš raditi.

Moja greška, izvinjavam se. Onda se dati integral svodi na:
[dispmath]\int\text{arctg }\frac{t}{t+1}\,\mathrm dt[/dispmath] (ako negde nisam pogrešio) koji ne znam kako da rešim dalje. Jedino mi je pala na pamet smena [inlmath]\frac{t}{t+1}=s[/inlmath], ali nije pomoglo.

Parcijalna [inlmath]u=\text{arctg }\frac{t}{t+1}[/inlmath], [inlmath]\mathrm dv=\mathrm dt[/inlmath]. Biće tu malo više posla...