MATEMANIJA

[dispmath]\int\!\frac{\mathrm dx}{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}[/dispmath] Nikakvu ideju nemam kako da započnem. Jedina opcija mi je bila integracija racionalnih funkcija ali problem mi pravi [inlmath]x^2+x+1[/inlmath] jer nema realne korene, samim tim ga ne mogu rastaviti kao što sam mogao [inlmath](x-1)[/inlmath] (tj. odrediti njegove nule).

Ovo je "školski" primer zadatka koji treba da se radi metodom parcijalnih razlomaka. Koliko si upućen u ovu metodu? Pogledaj neke od prvih postova u ovom potforumu, imaš detaljno urađene primere ovog postupka. Recimo, ovde.

Blizu sam rešenja, ali sam zapeo kod jednog dela ovog integrala pa ću ga izdvojiti:
[dispmath]\frac{3}{2}\int\!\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{3}{2}\int\!\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}[/dispmath] Odavde sam uveo smenu: [inlmath]t=\left(x+\frac{1}{2}\right)[/inlmath], odakle dobijam:
[dispmath]6\int\!\frac{1}{4t^2+3}\,\mathrm dt[/dispmath] Dalje ne bih znao kako da ga rastavim. Sve mi deluje da je ovo u stvari tablični [inlmath]\text{arctg}[/inlmath] integral, ali nikako ne uspevam da dođem do tog oblika.

Jeste ovo ,,tablični" integral (neka proširena tablica).
[dispmath]\int\!\frac{1}{x^2+a^2}\,\mathrm dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C[/dispmath] Kada izvučeš [inlmath]4[/inlmath] ispred dobićeš ovo:
[dispmath]\frac{6}{4}\int\!\frac{1}{t^2+\frac{3}{4}}\,\mathrm dt[/dispmath] i dalje je samo primena formule.

A možeš svesti i na tablični [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}=\text{arctg }x+c[/inlmath], tako što ćeš zatim i brojilac i imenilac pomnožiti sa [inlmath]\frac{4}{3}[/inlmath] (da bi u imeniocu kao slobodan član dobio keca),
[dispmath]\frac{6}{4}\cdot\frac{4}{3}\int\!\frac{\mathrm dt}{\frac{4}{3}t^2+1}=2\int\!\frac{\mathrm dt}{\left(\frac{2}{\sqrt3}t\right)^2+1}[/dispmath] i onda smena [inlmath]\frac{2}{\sqrt3}t=u[/inlmath]...

Inače, u ovom postu sam detaljno pokazao rešavanje ovakvih integrala kod kojih imenilac nema realne korene (a i cela tema je dobra za vežbanje integracije racionalnih funkcija).