MATEMANIJA

[dispmath]\int\!\frac{1}{1-e^{-x}}\,\mathrm dx[/dispmath] Ispravno rešenje je [inlmath]\ln\left|e^x-1\right|+C[/inlmath]

Prvo sam pokušao sa smenom: [inlmath]e^{-x}=t[/inlmath], [inlmath]\mathrm dx=-\frac{\mathrm dt}{e^{-x}}[/inlmath], odakle dobijam:
[dispmath]-\int\!\frac{1}{t(1-t)}\,\mathrm dt[/dispmath] Ovde sam primenio integraciju racionalnih funkcija: [inlmath]\frac{A}{t}+\frac{B}{1-t},\:A=1,\:B\:=1[/inlmath] i odatle dobijam 2 integrala:
[inlmath]\int\!\frac{1}{t}\,\mathrm dt+\int\!\frac{1}{1-t}[/inlmath]. Za ovaj drugi integral sam stavio da je [inlmath]1-t=s[/inlmath] i kad se celokupan sredi dobijam:
[dispmath]-\ln\left|e^{-x}\right|+\ln\left|1-e^{-x}\right|+C[/dispmath] Proverio sam postupak više puta i nisam naišao nijednu grešku.

Onda sam čisto onako pokušao sa "trikom":
[dispmath]\int\!\frac{1-e^{-x}+e^{-x}}{1-e^{-x}}\,\mathrm dx[/dispmath] Kada se razdvoje:
[dispmath]\int\mathrm dx+\int\!\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}[/dispmath] Za drugi integral se dobija ispravno [inlmath]\ln\left|1-e^{-x}\right|[/inlmath] ali pre toga imam i [inlmath]\frac{x^2}{2}[/inlmath].

A da prvo središ početnu podintegralnu funkciju, pa posle smena...

Tako sam rešio kasnije, ali bi valjda trebalo da se dobije isto i na ova 2 načina

I dobro si uradio jer je [inlmath]-\ln\left|e^{-x}\right|+\ln\left|1-e^{-x}\right|=\ln\left|e^x-1\right|[/inlmath]. Ovaj deo sa 'trikom', pa verovatno imaš grešku. Odakle [inlmath]\frac{x^2}{2}[/inlmath]?

Moja greška, [inlmath]x[/inlmath] tu treba da bude. (kad se pokrati [inlmath]\int\!\frac{1-e^{-x}}{1-e^{-x}}\,\mathrm dx[/inlmath]).

Acim je napisao:[dispmath]\int\mathrm dx+\int\!\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}[/dispmath] Za drugi integral se dobija ispravno [inlmath]\ln\left|1-e^{-x}\right|[/inlmath] ali pre toga imam i [inlmath]\frac{x^2}{2}[/inlmath].

Drugi integral nije jednak rešenju koje se dobije, jer u rešenju nemaš minus u eksponentu.
Onda, nakon što [inlmath]\frac{x^2}{2}[/inlmath] ispraviš u [inlmath]x[/inlmath], dobija se rešenje:
[dispmath]x+\ln\left|1-e^{-x}\right|+c[/dispmath] I to je takođe tačno rešenje, samo zapisano u drugačijem obliku. Da bi od tog oblika dobio onaj koji je u rešenju i napisan, [inlmath]x[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\ln e^x[/inlmath], pa primeniš zbir logaritama...