MATEMANIJA

[dispmath]\int\cos^2(\ln x)\,\mathrm dx[/dispmath] Prvo sam iskoristio da je [inlmath]\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}[/inlmath] i time dobijam:
[dispmath]\frac{1}{2}\int\mathrm dx+\frac{1}{2}\int\cos(2\ln x)\,\mathrm dx[/dispmath] E sad, kod [inlmath]\int\cos(2\ln x)\,\mathrm dx[/inlmath] mi jedino pada na pamet parcijalna integracija (mada je to upitno jer [inlmath]\ln[/inlmath] stoji u okviru kosinusa, a ne množi ga), ali nisam siguran šta u ovom slučaju da stavim za [inlmath]\mathrm du[/inlmath], a šta za [inlmath]\mathrm dv[/inlmath].

Smena [inlmath]2\ln x=t[/inlmath], a zatim dvaput parcijalna.

Probao sam tu smenu, ali dobijam [inlmath]\frac{1}{2}\int\!\cos(t)\,\mathrm dtx[/inlmath], tj. nisam se time rešio [inlmath]x[/inlmath].

Nakon [inlmath]2\ln x=t[/inlmath] potrebno je da izraziš [inlmath]x[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]t[/inlmath], što će naravno biti [inlmath]x=e^{t/2}[/inlmath], a zatim, diferenciranjem obe strane te jednakosti, i [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] i zavisnosti od [inlmath]\mathrm dt[/inlmath]. Onda sve to uvrstiš u integral, tako da nakon uvođenja smene nigde više ne figuriše [inlmath]x[/inlmath], od tada radiš samo s promenljivom [inlmath]t[/inlmath].

To je to, hvala.