MATEMANIJA

[dispmath]\int{\frac{5x-2}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx}[/dispmath]
Ako bi neko mogao da resi ovo, pokusao sam preko Wolframa, ali mi je resenje pomalo cudno tj. pretesko

[dispmath]\int{\frac{5x-2}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx}=5\int{\frac{x}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx}-2\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx}[/dispmath]
Integral [inlmath]\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx}[/inlmath] se moze svesti na tablični [inlmath]\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm dx}=\ln\left|\sqrt{x^2+a^2}+x\right|+C[/inlmath]:
[dispmath]\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}}}\mathrm dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2}}\mathrm dx}=[/dispmath]
Dalje se uvede smena [inlmath]x+\frac{1}{2}=t[/inlmath] ([inlmath]\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]) i integral svede na već pomenuti.

Integral [dispmath]\int{\frac{x}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx}[/dispmath] se svodi na
[dispmath]\int{\frac{x}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx}=\sqrt{x^2+x+2}-\frac{1}{2}\cdot\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx}[/dispmath]
Preostali integral je već rešen, pa kada se dobijeni rezultati vrate dobije se i konačno rešenje...

A kako se svodi ovaj poslednji integral?

Evo ovako:
[dispmath]\int\frac{x}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1-1}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm d\left(x^2+x+2\right)}{\sqrt{x^2+x+2}}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}\int\left(x^2+x+2\right)^{-\frac{1}{2}}\mathrm d\left(x^2+x+2\right)-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\cancel{\frac{1}{2}}\frac{\left(x^2+x+2\right)^\frac{1}{2}}{\cancel{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx=\sqrt{x^2+x+2}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}}\mathrm dx[/dispmath]

Hvala na odgovorima