MATEMANIJA

[dispmath]\int\frac{x^3+1}{x\left(x^2+x+1\right)}\mathrm dx[/dispmath]
Koliko znam, ovo je neprava racionalna f-ja. Stepen brojioca je jednak stepenu imenioca, pa ne moze da se prikaze u formi parcijalnih razlomaka. Tako da sam ja gornji kub sveo na donji
[dispmath]\int\frac{\left(x^3+x^2+x\right)-x^2-x+1}{x^3+x^2+x}\mathrm dx=x+\int\frac{-x^2-x+1}{x\left(x^2+x+1\right)}[/dispmath]
pa sam drugi integral razbijao na parcijalne razlomke tj. racionalnu f-ju pod integralom.
[dispmath]\frac{-x^2-x+1}{x\left(x^2+x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}[/dispmath][dispmath]A=1\quad B=-1\quad C=-1[/dispmath]
Da li je ovo dobar postupak? Posto nisam dobio isto resenje kao Wolfram

Imaš dve greške... Prvo, u

_Mita je napisao:[dispmath]\int\frac{\left(x^3+x^2+x\right)-x^2-x+1}{x^3+x^2+x}\mathrm dx=x+\int\frac{-x^2-x+1}{x\left(x^2+x+1\right)}[/dispmath]

umesto [inlmath]x[/inlmath] treba [inlmath]1[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{\left(x^3+x^2+x\right)-x^2-x+1}{x^3+x^2+x}\mathrm dx={\color{red}1}+\int\frac{-x^2-x+1}{x\left(x^2+x+1\right)}\mathrm dx[/dispmath]
Zatim, ovde

_Mita je napisao:[dispmath]\frac{-x^2-x+1}{x\left(x^2+x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}[/dispmath][dispmath]A=1\quad B=-1\quad C=-1[/dispmath]

Razlomak [inlmath]\frac{-x^2-x+1}{x\left(x^2+x+1\right)}[/inlmath] si ispravno rastavio na [inlmath]\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}[/inlmath], ali si nešto pogrešio u određivanju koeficijenata [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Treba da se dobije [inlmath]A=1,\;B=-2,\;C=-2[/inlmath]. Rešenja koja si ti dobio važila bi da smo rastavljali razlomak [inlmath]\frac{1}{x\left(x^2+x+1\right)}[/inlmath]. Moja ti je preporuka da uvek dobijene vrednost za [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] uvrstiš nazad i vidiš da li ćeš iz njih dobiti polazni razlomak:
[dispmath]\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}=\frac{1}{x}+\frac{-x-1}{x^2+x+1}=\frac{x^2+x+1+x\left(-x-1\right)}{x\left(x^2+x+1\right)}=\frac{1}{x\left(x^2+x+1\right)}\ne\frac{-x^2-x+1}{x(x^2+x+1)}[/dispmath]
Znači, nešto ne valja...

Možeš pogledati i ovaj zadatak, sličan je ovom koji si postavio, s tom razlikom što je u njemu faktor [inlmath]x^2+x+1[/inlmath] dignut na kvadrat...

Au, da, da. Ja sam omasio koeficijent [inlmath]A[/inlmath] i posle sam ga ispravio, ali sam zaboravio da on utice i na ova 2.

Jesi li siguran za ovu jedinicu?
[dispmath]\int\mathrm dx=x?[/dispmath]

Upssss...

Potpuno si u pravu, ne primetih da je [inlmath]x[/inlmath] izvan integrala.

Da, onda je to u redu, jedina greška ti je bila to s koeficijentima...