MATEMANIJA

[dispmath]\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm dx[/dispmath]
Pretpostavljam da se zadatak resava nekom od hiperblickih smena, s obzirom da je jedan od sabiraka resenja area-kosinus hiperbolicki, ali ne znam koja smena se uvodi

Jeste, koristiš one osobine hiberpoličkih funkcija da je [inlmath]\cosh^2t=1+\sinh^2t[/inlmath] i [inlmath]\sinh^2t=\cosh^2t-1[/inlmath], tako da ovde, uvođenjem smene [inlmath]x=\cosh t[/inlmath], taman fino postižeš da potkorena veličina [inlmath]x^2-1[/inlmath] postane [inlmath]\cosh^2t-1[/inlmath], pa je to onda jednako [inlmath]\sinh^2t[/inlmath], pa se krati kvadrat i koren, tako da na kraju od [inlmath]\sqrt{x^2-1}[/inlmath] dobiješ [inlmath]\sinh t[/inlmath].

Uopšte, važe ona pravila:
– kada u izrazu pod integralom figuriše [inlmath]\sqrt{x^2+a^2}[/inlmath], tada uvodiš smenu [inlmath]x=a\sinh t[/inlmath];
– kada u izrazu pod integralom figuriše [inlmath]\sqrt{x^2-a^2}[/inlmath], tada uvodiš smenu [inlmath]x=a\cosh t[/inlmath].

Ovaj tvoj slučaj bi se, dakle, sveo na [inlmath]\sqrt{x^2-a^2}[/inlmath], u kojem je [inlmath]a=1[/inlmath], pa je smena [inlmath]x=a\cosh t=\cosh t[/inlmath].

Uspeo sam da ga uradim ovom smenom, hvala