MATEMANIJA

[dispmath]\int\limits_0^1\frac{\mathrm{arctg}{\sqrt[3]x}}{1+\sqrt[3]x^2}\mathrm dx[/dispmath]
Pokusao sam parcijalnom integracijom, gde bih brojilac uzimao za [inlmath]u[/inlmath], a imenilac za [inlmath]\mathrm dv[/inlmath], medjutim pri izracunavanju [inlmath]v[/inlmath] dobio sam binomni diferencijal koji sam uspeo da svedem na racionalnu f-ju koja u brojiocu ima 6. ili 7. stepen Je l' postoji neki bolji nacin za resavanje?

Ja bih prvo uveo smenu
[inlmath]\sqrt[3]x=t\\
x=t^3\\
\mathrm dx=3t^2\mathrm dt[/inlmath]
pa bi integral postao
[dispmath]3\int\limits_0^1\frac{t^2\mathrm{arctg}\:t}{1+t^2}\mathrm dt=3\int\limits_0^1\frac{\left(1+t^2-1\right)\mathrm{arctg}\:t}{1+t^2}\mathrm dt=3\int\limits_0^1\frac{\cancel{\left(1+t^2\right)}\mathrm{arctg}\:t}{\cancel{1+t^2}}\mathrm dt-3\int\limits_0^1\frac{\mathrm{arctg}\:t}{1+t^2}\mathrm dt=[/dispmath][dispmath]=3\int\limits_0^1\mathrm{arctg}\:t\mathrm dt-3\int\limits_0^1\mathrm{arctg}\:t\mathrm d\left(\mathrm{arctg}\:t\right)=3\int\limits_0^1\mathrm{arctg}\:t\mathrm dt-\left.3\frac{\mathrm{arctg}^2t}{2}\right|_0^1=3\int\limits_0^1\mathrm{arctg}\:t\mathrm dt-\frac{3\pi^2}{32}=[/dispmath]
Integral [inlmath]\int\limits_0^1\mathrm{arctg}\:t\mathrm dt[/inlmath] rešavamo parcijalnom:
[inlmath]u=\mathrm{arctg}\:t\\
\mathrm du=\frac{\mathrm dt}{1+t^2}\\
\mathrm dv=\mathrm dt\\
v=t[/inlmath]
[dispmath]=\left.3t\:\mathrm{arctg}\:t\right|_0^1-3\int\limits_0^1\frac{t\mathrm dt}{1+t^2}-\frac{3\pi^2}{32}=\frac{3\pi}{4}-\frac{3}{2}\int\limits_0^1\frac{\mathrm d\left(t^2\right)}{1+t^2}-\frac{3\pi^2}{32}=[/dispmath][dispmath]=\frac{3\pi}{4}-\left.\frac{3}{2}\ln\left(1+t^2\right)\right|_0^1-\frac{3\pi^2}{32}+c=\enclose{box}{\frac{3\pi}{4}-\frac{3}{2}\ln 2-\frac{3\pi^2}{32}+c}[/dispmath]

Definitivno lakse nego moj nacin. Moj se previse komplikuje pri resavanju integrala [inlmath]v[/inlmath], hvala