MATEMANIJA

Pozz ako moze pomoc oko ovog zadatka, treba naci
[dispmath]\int\frac{\sqrt x+3}{\sqrt x-2}\mathrm dx[/dispmath]
hvala unapred!

Kako bismo imenilac sveli na samo jedan sabirak, uvodimo smenu
[dispmath]t=\sqrt x-2\quad\Rightarrow\quad\sqrt x=t+2\quad\Rightarrow\quad x=\left(t+2\right)^2[/dispmath]
Izraz postaje:
[dispmath]2\int\frac{t+5}{t}\left(t+2\right)\mathrm dt[/dispmath]
a to je dalje
[dispmath]2\int\frac{\left(t+5\right)\left(t+2\right)}{t}\mathrm dt=2\int\frac{t^2+7t+10}{t}\mathrm dt=2\int t\mathrm dt+14\int\mathrm dt+20\int\frac{\mathrm dt}{t}=[/dispmath][dispmath]=2\frac{t^2}{2}+14t+20\ln\left|t\right|+c=t^2+14t+20\ln\left|t\right|+c[/dispmath]
Kada vratimo [inlmath]x[/inlmath] umesto smene, biće:
[dispmath]\left(\sqrt x-2\right)^2+14\left(\sqrt x-2\right)+20\ln\left|\sqrt x-2\right|+c=x-4\sqrt x+4+14\sqrt x-28+20\ln\left|\sqrt x-2\right|+c=[/dispmath][dispmath]=x+10\sqrt x-24+20\ln\left|\sqrt x-2\right|+c[/dispmath]

E puno hvala samo ako mozes jos ovo da mi odgovoris kako si dobio ono [inlmath]2[/inlmath] pre integrala i ono [inlmath]t+2[/inlmath] unutar integrala?

Verovatno misliš na ovaj izraz?
[dispmath]2\int\frac{t+5}{t}\left(t+2\right)\mathrm dt[/dispmath]
Pošto uvođenjem pomenute smene imamo da je
[dispmath]x=\left(t+2\right)^2[/dispmath]
odatle sledi da je
[dispmath]\mathrm dx=2\left(t+2\right)\mathrm dt[/dispmath]
pri čemu dvojka, kao konstanta, izlazi ispred integrala.

Da, na taj izraz sam mislio. Sad sve jasno, hvala.

Zdravo. Nisam znao da l' da otvaram novu temu, pa reko' necu posto ova savrseno odgovara

E, samo da pitam da li je integral od [inlmath]\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}[/inlmath] jednak [inlmath]\arcsin\frac{x}{3}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{1}{3}\arcsin\frac{x}{3}[/inlmath]

Ja dobijem ovo drugo, ali komp kaze da je ono prvo resenje -.- Samo ne znam gde se izgubi [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]

Ma, slobodno uvek otvaraj novu temu, neće se teme potroše.

Evo postupka, pa vidi di ti je nestalo [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].
[dispmath]\int\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}\mathrm dx=\int\frac{1}{\sqrt 9\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}}\mathrm dx=\frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\mathrm dx=\frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\cdot 3\cdot\mathrm d\left(\frac{x}{3}\right)=[/dispmath][dispmath]=\frac{3}{3}\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\mathrm d\left(\frac{x}{3}\right)=\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\mathrm d\left(\frac{x}{3}\right)=\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)+c[/dispmath]

Daniel je napisao:Ma, slobodno uvek otvaraj novu temu, neće se teme potroše.

Evo postupka, pa vidi di ti je nestalo [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].
[dispmath]\frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\cdot 3\cdot\mathrm d\left(\frac{x}{3}\right)[/dispmath]

Aa, znaci pomnozi se sa [inlmath]3[/inlmath] kada se umesto [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] stavi [inlmath]\mathrm d\left(\frac{x}{3}\right)[/inlmath]

Eto vidis, to nisam uradio


Hvala!

Kako volim sto sabijam

Samo jedno pitanjce, gde je nestalo ono [inlmath]x[/inlmath] iz brojioca?
[dispmath]\int\frac{x}{e^{x^2}}\mathrm dx[/dispmath]
[inlmath]u=-x^2\\
\mathrm du=-2x\mathrm dx[/inlmath]
[dispmath]=-\frac{1}{2}\int e^u\mathrm du[/dispmath]

Znači, uvedeš smenu
[dispmath]u=-x^2\quad\Rightarrow\quad e^{-x^2}=e^u[/dispmath]
tada će biti i
[dispmath]\mathrm du=\mathrm d\left(-x^2\right)=-\mathrm d\left(x^2\right)=-2x\mathrm dx\quad\Rightarrow\quad x\mathrm dx=-\frac{1}{2}\mathrm du[/dispmath]
pa integral
[dispmath]\int\frac{x}{e^{x^2}}\mathrm dx=\int e^{-x^2}x\mathrm dx[/dispmath]
postaje
[dispmath]\int e^u\left(-\frac{1}{2}\right)\mathrm du=-\frac{1}{2}\int e^u\mathrm du[/dispmath]