MATEMANIJA

Pozz ako moze pomoc oko ovog zadatka, treba naci
[dispmath]\int\frac{\sqrt x+3}{\sqrt x-2}\mathrm dx[/dispmath]
hvala unapred!

Kako bismo imenilac sveli na samo jedan sabirak, uvodimo smenu
[dispmath]t=\sqrt x-2\quad\Rightarrow\quad\sqrt x=t+2\quad\Rightarrow\quad x=\left(t+2\right)^2[/dispmath]
Izraz postaje:
[dispmath]2\int\frac{t+5}{t}\left(t+2\right)\mathrm dt[/dispmath]
a to je dalje
[dispmath]2\int\frac{\left(t+5\right)\left(t+2\right)}{t}\mathrm dt=2\int\frac{t^2+7t+10}{t}\mathrm dt=2\int t\mathrm dt+14\int\mathrm dt+20\int\frac{\mathrm dt}{t}=[/dispmath][dispmath]=2\frac{t^2}{2}+14t+20\ln\left|t\right|+c=t^2+14t+20\ln\left|t\right|+c[/dispmath]
Kada vratimo [inlmath]x[/inlmath] umesto smene, biće:
[dispmath]\left(\sqrt x-2\right)^2+14\left(\sqrt x-2\right)+20\ln\left|\sqrt x-2\right|+c=x-4\sqrt x+4+14\sqrt x-28+20\ln\left|\sqrt x-2\right|+c=[/dispmath][dispmath]=x+10\sqrt x-24+20\ln\left|\sqrt x-2\right|+c[/dispmath]

E puno hvala samo ako mozes jos ovo da mi odgovoris kako si dobio ono [inlmath]2[/inlmath] pre integrala i ono [inlmath]t+2[/inlmath] unutar integrala?

Verovatno misliš na ovaj izraz?
[dispmath]2\int\frac{t+5}{t}\left(t+2\right)\mathrm dt[/dispmath]
Pošto uvođenjem pomenute smene imamo da je
[dispmath]x=\left(t+2\right)^2[/dispmath]
odatle sledi da je
[dispmath]\mathrm dx=2\left(t+2\right)\mathrm dt[/dispmath]
pri čemu dvojka, kao konstanta, izlazi ispred integrala.

Da, na taj izraz sam mislio. Sad sve jasno, hvala.

Zdravo. Nisam znao da l' da otvaram novu temu, pa reko' necu posto ova savrseno odgovara

E, samo da pitam da li je integral od [inlmath]\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}[/inlmath] jednak [inlmath]\arcsin\frac{x}{3}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{1}{3}\arcsin\frac{x}{3}[/inlmath]

Ja dobijem ovo drugo, ali komp kaze da je ono prvo resenje -.- Samo ne znam gde se izgubi [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]

Ma, slobodno uvek otvaraj novu temu, neće se teme potroše.

Evo postupka, pa vidi di ti je nestalo [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].
[dispmath]\int\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}\mathrm dx=\int\frac{1}{\sqrt 9\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}}\mathrm dx=\frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\mathrm dx=\frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\cdot 3\cdot\mathrm d\left(\frac{x}{3}\right)=[/dispmath][dispmath]=\frac{3}{3}\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\mathrm d\left(\frac{x}{3}\right)=\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\mathrm d\left(\frac{x}{3}\right)=\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)+c[/dispmath]

Daniel je napisao:Ma, slobodno uvek otvaraj novu temu, neće se teme potroše.

Evo postupka, pa vidi di ti je nestalo [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].
[dispmath]\frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\cdot 3\cdot\mathrm d\left(\frac{x}{3}\right)[/dispmath]

Aa, znaci pomnozi se sa [inlmath]3[/inlmath] kada se umesto [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] stavi [inlmath]\mathrm d\left(\frac{x}{3}\right)[/inlmath]

Eto vidis, to nisam uradio


Hvala!

Kako volim sto sabijam

Samo jedno pitanjce, gde je nestalo ono [inlmath]x[/inlmath] iz brojioca?
[dispmath]\int\frac{x}{e^{x^2}}\mathrm dx[/dispmath]
[inlmath]u=-x^2\\
\mathrm du=-2x\mathrm dx[/inlmath]
[dispmath]=-\frac{1}{2}\int e^u\mathrm du[/dispmath]

Znači, uvedeš smenu
[dispmath]u=-x^2\quad\Rightarrow\quad e^{-x^2}=e^u[/dispmath]
tada će biti i
[dispmath]\mathrm du=\mathrm d\left(-x^2\right)=-\mathrm d\left(x^2\right)=-2x\mathrm dx\quad\Rightarrow\quad x\mathrm dx=-\frac{1}{2}\mathrm du[/dispmath]
pa integral
[dispmath]\int\frac{x}{e^{x^2}}\mathrm dx=\int e^{-x^2}x\mathrm dx[/dispmath]
postaje
[dispmath]\int e^u\left(-\frac{1}{2}\right)\mathrm du=-\frac{1}{2}\int e^u\mathrm du[/dispmath]

Hehehe,
E hvala ti

I dalje ne znam sta me je to zbunilo

Kako naći integral
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{e^x-4}[/dispmath]
?

Tako što uvedeš smenu [inlmath]e^x-4=t[/inlmath].

Valja li ova supsitucija:
[dispmath]t=e^x-4\\
\mathrm dt=e^x\mathrm dx\;\Rightarrow\;\mathrm dx=\frac{1}{e^x}\mathrm dt[/dispmath]

Valja, ništa nije pogrešno, ali s desne strane treba da dobiješ izraz u kome ne figuriše [inlmath]x[/inlmath], već samo [inlmath]t[/inlmath]. Znači, to [inlmath]e^x[/inlmath] zameniš sa [inlmath]t+4[/inlmath].

Kako misliš? De napiši...

Dakle, ako u izrazu
[dispmath]\mathrm dx=\frac{1}{e^x}\mathrm dt[/dispmath]
treba [inlmath]e^x[/inlmath] da zameniš sa [inlmath]t+4[/inlmath], to onda znači ovo, zar ne?
[dispmath]\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{t+4}[/dispmath]

Kao rješenje sam dobio [dispmath]\frac{1}{e^x}\ln |e^x-4|+C[/dispmath]
no čini se da je krivo... gdje griješim? :/

Pošto mi vidovnjaštvo ne ide baš najbolje od ruke, pokaži postupak pa ću ti reknem di grešiš...

Ispravan rezultat je:
[dispmath]\frac{1}{4}\ln\left|e^x-4\right|-\frac{x}{4}+c[/dispmath]

Haha evo

Supstitucija:
[inlmath]t=e^x-4\\
\mathrm dt=e^x\mathrm dx\;\Rightarrow\;\mathrm dx=\frac{1}{e^x}\mathrm dt\;\Rightarrow\;\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{t+4}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{1}{e^x-4}\mathrm dx=\int\frac{1}{t}\mathrm dt=\frac{1}{t+4}\ln|t|+C=\frac{1}{e^x}\ln |e^x-4|+C[/dispmath]

Ja vidim dve greške:

eseper je napisao:[inlmath]\int\frac{1}{e^x-4}\mathrm dx=\int\frac{1}{t}\mathrm dt[/inlmath]

OK, [inlmath]e^x-4[/inlmath] si zamenio sa [inlmath]t[/inlmath], to je u redu, ali umesto [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] ne treba da pišeš [inlmath]\mathrm dt[/inlmath], već [inlmath]\frac{\mathrm dt}{t+4}[/inlmath].

eseper je napisao:[inlmath]\int\frac{1}{t}\mathrm dt=\frac{1}{t+4}\ln|t|+C[/inlmath]

Ne znam otkud ti se stvorilo ovo [inlmath]\frac{1}{t+4}[/inlmath] u rezultatu?

Ajd da pretpostavim da si u koraku [inlmath]\int\frac{1}{t}\mathrm dt[/inlmath] greškom pri kucanju Latex komande izostavio [inlmath]\frac{1}{t+4}[/inlmath]. Ali, to nije konstanta pa da u sledećem koraku može da izađe ispred integrala, već će integral biti [inlmath]\int\frac{\mathrm dt}{t\left(t+4\right)}[/inlmath], a to radiš rastavljanjem na parcijalne razlomke...

Evo rješio sam ispravno Morat ću se ozbiljnije pozabaviti integralima

Može li me neko uputiti u ovaj integral:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^(4)+4x^(2)+3}[/dispmath]
Može li se se ovo rješiti uvođenjem supstitucije ([inlmath]t[/inlmath]) ili se isključivo treba integrirati kao racionalna funkcija?
Ako je kao racionalna, kako nazivnik rastaviti na dva dijela (budući da ovakvog ne mogu odmah rješavati) ?

Mislio si, verovatno, na ovaj integral?
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^4+4x^2+3}[/dispmath]
[inlmath]\left(x^4+4x^2+3\right)[/inlmath] možeš rastaviti tako što rešiš kvadratnu jednačinu po [inlmath]x^2[/inlmath], rešenja će joj biti [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]-3[/inlmath], pa će izraz u imeniocu moći da se napiše kao [inlmath]\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)[/inlmath]. I to onda dalje rešavaš parcijalnim razlomcima...

Rešenje:
[dispmath]\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\:x-\frac{\sqrt 3}{6}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt 3}{3}x\right)+c[/dispmath]

Daniel je napisao:Mislio si, verovatno, na ovaj integral?
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^4+4x^2+3}[/dispmath]
[inlmath]\left(x^4+4x^2+3\right)[/inlmath] možeš rastaviti tako što rešiš kvadratnu jednačinu po [inlmath]x^2[/inlmath], rešenja će joj biti [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]-3[/inlmath], pa će izraz u imeniocu moći da se napiše kao [inlmath]\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)[/inlmath]. I to onda dalje rešavaš parcijalnim razlomcima...

Rešenje:
[dispmath]\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\:x-\frac{\sqrt 3}{6}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt 3}{3}x\right)+c[/dispmath]

Hm, misliš trećim korakom s onog mog papira? (jer vidim da je rješenje na kraju [inlmath]\mathrm{arctg}[/inlmath], a kad su parcijalni razlomci obično bude [inlmath]\ln|\mathrm{nešto}|[/inlmath] ?

Ne, mislim baš na parcijalne razlomke.

Ne treba ti taj treći red s tvog papira (stavio sam link da bi oni koji nekada budu ovo čitali znali o čemu se radi), jer ti je ovde jednostavnije, nemaš koeficijent uz linearni član, već samo uz kvadratni i uz slobodan član.
Lako se svodi na tablični integral [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\mathrm{arctg}\:x[/inlmath].

Kada smo u imeniocu imali izraze [inlmath]x+\mathrm{nešto}[/inlmath], to se svodilo na [inlmath]\ln\left|x+\mathrm{nešto}\right|[/inlmath], ali ovde imamo [inlmath]x^2+\mathrm{nešto}[/inlmath], u tome je razlika.

Može li postupak?

Evo.
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^4+4x^2+3}=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+3}[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\:x-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+3}[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\:x-\frac{\sqrt 3}{6}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt 3}{3}x\right)+C[/dispmath]

Hvala Milovane

Samo me zanima odakle ispred integrala [inlmath]\frac{1}{2}\int\dots[/inlmath]
U tabličnoj verziji stoji [inlmath]\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\dots[/inlmath]

[dispmath]\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}=\frac{A}{x^2+1}+\frac{B}{x^2+3}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{(t+1)(t+3)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t+3}[/dispmath][dispmath]A(t+3)+B(t+1)=1[/dispmath][dispmath](A+B)t+3A+B=1[/dispmath]
Rešiš sistem:
[dispmath]3A+B=1\\
A+B=0[/dispmath]
Dobiješ:
[dispmath]A=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]B=-\frac{1}{2}[/dispmath]
Vratiš:
[dispmath]\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+3}[/dispmath]

Moze li pomoc oko ovog integrala ?Hvala
[dispmath]\int\frac{1}{\cos x}\mathrm dx[/dispmath]

Dobro došao na forum. Pošto si nov, ovaj put sam ti korigovao post, ali za buduće postove te molim da se upoznaš s Pravilnikom foruma.

Pomnoži brojilac i imenilac sa [inlmath]\cos x[/inlmath], u brojiocu [inlmath]\cos x\mathrm dx[/inlmath] napiši kao [inlmath]\mathrm d\left(\sin x\right)[/inlmath], u imeniocu kvadrat kosinusa izrazi preko sinusa. Uvedi smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath] i dobićeš integral [inlmath]\int\frac{\mathrm dt}{1-t^2}[/inlmath], koji dalje rešavaš metodom rastavljanja na parcijalne razlomke...

Treba da se dobije rezultat
[dispmath]\ln\left(c\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\right),\quad c>0[/dispmath]

Ok hvala puno , prvi put se susrecem sa Latexom pa nisam mogao da se snadjem

Lako se nauči, ima uputstvo, a tu smo i mi ako zatreba pomoć...