interesuje me samo koja je trigonom. formula koristena kako bi se od [inlmath]\int\sin^2x\mathrm dx[/inlmath] dobilo [inlmath]\int\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)\mathrm dx[/inlmath] ?

Korišćena je formula za sinus polovine ugla, spominjao sam ti je ovde.

Kako se, inače, do te formule dolazi, pokazao sam u ovom postu.

A ako ti nekad zatreba, ovde imaš sve potrebne trigonometrijske formule i identitete, uključujući i te formule s polovinom ugla.

ahm, oke, hvala nekako sam preletao preko te formule kada s am trazio

a jel postoji neko objasnjenje, tj. kakvim bih se razmisljanjem trebao voditi pa da mi padne na pamet da tako postavim zadatak?

Konkretno, u ovom integralu [inlmath]\int\sin^2x\mathrm dx[/inlmath] cilj je osloboditi se kvadrata kod trigonometrijske funkcije, jer tom transformacijom dobijaš drugu trigonometrijsku funkciju (kosinus), ali bez kvadrata, pa se tada integral može jednostavno rešiti.

Kod nekih drugih zadataka (iz trigonometrije pogotovo) imaćeš razne druge razloge zašto primeniti tu formulu, npr. kada u svim drugim izrazima figuriše [inlmath]2\alpha[/inlmath] a jedino pod kvadratom (ko)sinusa figuriše [inlmath]\alpha[/inlmath], tada ti se nekako nameće da taj kvadrat (ko)sinusa transformišeš u trigonometrijsku funkciju čiji je ugao [inlmath]2\alpha[/inlmath]... Ima još bezbroj primera, naveo sam samo neke...

ahm, zhvaljujem

jos jedno pitanje, zadatak glasi [inlmath]\sqrt{\int 8+2x+x^2\mathrm dx}[/inlmath], i to se sad postavi [inlmath]\sqrt{\int 9-(1+x)^2\mathrm dx}[/inlmath] i potom [inlmath]\sqrt{\int9\left(1-\left(\frac{1+x}{3}\right)^2\right)\mathrm dx}[/inlmath], nije mi jasno kako se doslo do tog razlomka? i sad ide smena ([inlmath]t[/inlmath]) za taj razlomak, i onda smena sa [inlmath]\cos=t[/inlmath] i onda pod korenom bude [inlmath]1-\cos^2[/inlmath], i onda se to uradi kao gore primer, ali javljaju mi se razni uslovi, i sad ne znam kako oni uticu na zadatak

Pre nego što ti odgovorim na pitanje, jedna korekcija – kad se podintegralne veličine sastoje od više sabiraka, kao u ovom slučaju, tada se moraju pisati u zagradama. Znači, ne [inlmath]\sqrt{\int 8+2x+x^2\mathrm dx}[/inlmath] već [inlmath]\sqrt{\int\left(8+2x+x^2\right)\mathrm dx}[/inlmath], isto tako, ne [inlmath]\sqrt{\int 9-\left(1+x\right)^2\mathrm dx}[/inlmath] već [inlmath]\sqrt{\int\left[9-\left(1+x\right)^2\right]\mathrm dx}[/inlmath].

E, sad, jednakost
[dispmath]\sqrt{\int\left(8+2x+x^2\right)\mathrm dx}=\sqrt{\int\left[9-\left(1+x\right)^2\right]\mathrm dx}[/dispmath]
nije tačna.
Nisu jednake podintegralne veličine, tj. nije tačna jednakost [inlmath]8+2x+x^2=9-\left(1+x\right)^2[/inlmath].
[inlmath]9-\left(1+x\right)^2[/inlmath] bi bilo jednako [inlmath]8{\color{red}-}2x{\color{red}-}x^2[/inlmath] a ne [inlmath]8{\color{red}+}2x{\color{red}+}x^2[/inlmath], pa proveri da nisi možda pogrešio u prepisivanju ili kucanju.

Jednakost
[dispmath]\sqrt{\int\left[9-\left(1+x\right)^2\right]\mathrm dx}=\sqrt{\int9\left(1-\left(\frac{1+x}{3}\right)^2\right)\mathrm dx}[/dispmath]
jeste tačna i do nje se, malo postupnije, dolazi na sledeći način (radi jednostavnosti, pisaću bez korena i bez integrala, jer nema potrebe):
[dispmath]9-\left(1+x\right)^2=9\left[1-\frac{\left(1+x\right)^2}{9}\right]=9\left[1-\frac{\left(1+x\right)^2}{3^2}\right]=9\left[1-\left(\frac{1+x}{3}\right)^2\right][/dispmath]

I još nešto, si siguran da zadatak ovako glasi, koren pa pod korenom integral? Ne kažem da je nemoguće, samo mi je malo čudno... Da ne treba, možda, koren da bude pod integralom, umesto integral pod korenom?

Napiši i te uslove koji ti se javljaju, pa ćemo da ih prodiskutujemo...

stvarno se izvinjavam zbog gresaka, da treba da stoji koren pod integralom, ne znam kako to nisam primetio da , primetio sam to da ta prva jednakost nije jednaka, prepisao sam je iz zbirke, msm da bi trebalo ovako [inlmath](1-x)^2[/inlmath] ali hteo sam da pitam za uslove pa sam kontao da ako to promenim i oni ce se promeniti a glase : [inlmath]8+2x-x^2\ge 0[/inlmath] pa onda sledi [inlmath]9\cdot\left(1-\left(\frac{1+x}{3}\right)^2\right)\ge 0[/inlmath] pa sledi [inlmath]\left|\frac{1+x}{3}\right|\le 1[/inlmath] pa sledi [inlmath]-4\le x\le 3[/inlmath], i posle kada se uvede smena [inlmath]t =\frac{1+x}{3}\in\left[-1,1\right],\;x=3t-1[/inlmath], i posle se uvodi smena [inlmath]s=\arccos t\in\left[0,\pi\right][/inlmath], i posle ima [inlmath]t=\cos s,\;\mathrm dt=\sin s\mathrm ds,\;\sin s\in\left[0,1\right][/inlmath] nije mi jasno zasto se oni uopste rade, i kako su dosli do njih, nije mi jasno koja je njihova svrha, nadam se da nema gresaka kao malopre

ja sam ga probao uraditi preko [inlmath]3^2-(1-x)^2[/inlmath], i dobijem pomalo cudan rezultat sa [inlmath]\arcsin[/inlmath]- om jel mozete postaviti koje je konacno resenje tog zadatka?