MATEMANIJA

interesuje me samo koja je trigonom. formula koristena kako bi se od [inlmath]\int\sin^2x\mathrm dx[/inlmath] dobilo [inlmath]\int\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)\mathrm dx[/inlmath] ?

Korišćena je formula za sinus polovine ugla, spominjao sam ti je ovde.

Kako se, inače, do te formule dolazi, pokazao sam u ovom postu.

A ako ti nekad zatreba, ovde imaš sve potrebne trigonometrijske formule i identitete, uključujući i te formule s polovinom ugla.

ahm, oke, hvala nekako sam preletao preko te formule kada s am trazio

a jel postoji neko objasnjenje, tj. kakvim bih se razmisljanjem trebao voditi pa da mi padne na pamet da tako postavim zadatak?

Konkretno, u ovom integralu [inlmath]\int\sin^2x\mathrm dx[/inlmath] cilj je osloboditi se kvadrata kod trigonometrijske funkcije, jer tom transformacijom dobijaš drugu trigonometrijsku funkciju (kosinus), ali bez kvadrata, pa se tada integral može jednostavno rešiti.

Kod nekih drugih zadataka (iz trigonometrije pogotovo) imaćeš razne druge razloge zašto primeniti tu formulu, npr. kada u svim drugim izrazima figuriše [inlmath]2\alpha[/inlmath] a jedino pod kvadratom (ko)sinusa figuriše [inlmath]\alpha[/inlmath], tada ti se nekako nameće da taj kvadrat (ko)sinusa transformišeš u trigonometrijsku funkciju čiji je ugao [inlmath]2\alpha[/inlmath]... Ima još bezbroj primera, naveo sam samo neke...

ahm, zhvaljujem

jos jedno pitanje, zadatak glasi [inlmath]\sqrt{\int 8+2x+x^2\mathrm dx}[/inlmath], i to se sad postavi [inlmath]\sqrt{\int 9-(1+x)^2\mathrm dx}[/inlmath] i potom [inlmath]\sqrt{\int9\left(1-\left(\frac{1+x}{3}\right)^2\right)\mathrm dx}[/inlmath], nije mi jasno kako se doslo do tog razlomka? i sad ide smena ([inlmath]t[/inlmath]) za taj razlomak, i onda smena sa [inlmath]\cos=t[/inlmath] i onda pod korenom bude [inlmath]1-\cos^2[/inlmath], i onda se to uradi kao gore primer, ali javljaju mi se razni uslovi, i sad ne znam kako oni uticu na zadatak

Pre nego što ti odgovorim na pitanje, jedna korekcija – kad se podintegralne veličine sastoje od više sabiraka, kao u ovom slučaju, tada se moraju pisati u zagradama. Znači, ne [inlmath]\sqrt{\int 8+2x+x^2\mathrm dx}[/inlmath] već [inlmath]\sqrt{\int\left(8+2x+x^2\right)\mathrm dx}[/inlmath], isto tako, ne [inlmath]\sqrt{\int 9-\left(1+x\right)^2\mathrm dx}[/inlmath] već [inlmath]\sqrt{\int\left[9-\left(1+x\right)^2\right]\mathrm dx}[/inlmath].

E, sad, jednakost
[dispmath]\sqrt{\int\left(8+2x+x^2\right)\mathrm dx}=\sqrt{\int\left[9-\left(1+x\right)^2\right]\mathrm dx}[/dispmath]
nije tačna.
Nisu jednake podintegralne veličine, tj. nije tačna jednakost [inlmath]8+2x+x^2=9-\left(1+x\right)^2[/inlmath].
[inlmath]9-\left(1+x\right)^2[/inlmath] bi bilo jednako [inlmath]8{\color{red}-}2x{\color{red}-}x^2[/inlmath] a ne [inlmath]8{\color{red}+}2x{\color{red}+}x^2[/inlmath], pa proveri da nisi možda pogrešio u prepisivanju ili kucanju.

Jednakost
[dispmath]\sqrt{\int\left[9-\left(1+x\right)^2\right]\mathrm dx}=\sqrt{\int9\left(1-\left(\frac{1+x}{3}\right)^2\right)\mathrm dx}[/dispmath]
jeste tačna i do nje se, malo postupnije, dolazi na sledeći način (radi jednostavnosti, pisaću bez korena i bez integrala, jer nema potrebe):
[dispmath]9-\left(1+x\right)^2=9\left[1-\frac{\left(1+x\right)^2}{9}\right]=9\left[1-\frac{\left(1+x\right)^2}{3^2}\right]=9\left[1-\left(\frac{1+x}{3}\right)^2\right][/dispmath]

I još nešto, si siguran da zadatak ovako glasi, koren pa pod korenom integral? Ne kažem da je nemoguće, samo mi je malo čudno... Da ne treba, možda, koren da bude pod integralom, umesto integral pod korenom?

Napiši i te uslove koji ti se javljaju, pa ćemo da ih prodiskutujemo...

stvarno se izvinjavam zbog gresaka, da treba da stoji koren pod integralom, ne znam kako to nisam primetio da , primetio sam to da ta prva jednakost nije jednaka, prepisao sam je iz zbirke, msm da bi trebalo ovako [inlmath](1-x)^2[/inlmath] ali hteo sam da pitam za uslove pa sam kontao da ako to promenim i oni ce se promeniti a glase : [inlmath]8+2x-x^2\ge 0[/inlmath] pa onda sledi [inlmath]9\cdot\left(1-\left(\frac{1+x}{3}\right)^2\right)\ge 0[/inlmath] pa sledi [inlmath]\left|\frac{1+x}{3}\right|\le 1[/inlmath] pa sledi [inlmath]-4\le x\le 3[/inlmath], i posle kada se uvede smena [inlmath]t =\frac{1+x}{3}\in\left[-1,1\right],\;x=3t-1[/inlmath], i posle se uvodi smena [inlmath]s=\arccos t\in\left[0,\pi\right][/inlmath], i posle ima [inlmath]t=\cos s,\;\mathrm dt=\sin s\mathrm ds,\;\sin s\in\left[0,1\right][/inlmath] nije mi jasno zasto se oni uopste rade, i kako su dosli do njih, nije mi jasno koja je njihova svrha, nadam se da nema gresaka kao malopre

ja sam ga probao uraditi preko [inlmath]3^2-(1-x)^2[/inlmath], i dobijem pomalo cudan rezultat sa [inlmath]\arcsin[/inlmath]- om jel mozete postaviti koje je konacno resenje tog zadatka?

jovica je napisao:nadam se da nema gresaka kao malopre

Uf, ne da ih ima, nego ne mogu ni da ih izbrojim... Najozbiljnije... Al' aj'mo redom...

jovica je napisao:da treba da stoji koren pod integralom, ne znam kako to nisam primetio

OK, ako je koren pod integralom, onda one zagrade za koje sam pominjao da su potrebne zbog više sabiraka, nisu potrebne, budući da sâm koren obavlja i ulogu zagrade, tj. grupiše te sabirke...

jovica je napisao:da , primetio sam to da ta prva jednakost nije jednaka, prepisao sam je iz zbirke, msm da bi trebalo ovako [inlmath](1-x)^2[/inlmath]

Da vidimo...
[inlmath]9-\left(1-x\right)^2=9-\left(1-2x+x^2\right)=8+2x-x^2[/inlmath] – ne odgovara početnom izrazu;
[inlmath]9+\left(1-x\right)^2=9+\left(1-2x+x^2\right)=10-2x+x^2[/inlmath] – to tek ne odgovara početnom izrazu.
Mada, vidim da si ti posle pretpostavio da početni izraz pod korenom ipak glasi [inlmath]8+2x-x^2[/inlmath]:

jovica je napisao:ali hteo sam da pitam za uslove pa sam kontao da ako to promenim i oni ce se promeniti a glase : [inlmath]8+2x-x^2\ge 0[/inlmath] pa onda sledi [inlmath]9\cdot\left(1-\left(\frac{1+x}{3}\right)^2\right)\ge 0[/inlmath]

Ali, kako, sad opet pod kvadratom, u brojiocu razlomka, imamo [inlmath]1+x[/inlmath], a ne [inlmath]1-x[/inlmath] kako si malopre napisao da treba da bude... Ne, ništa meni ovde nije jasno...

Osim toga, iz [inlmath]8+2x-x^2\ge 0[/inlmath] ne sledi [inlmath]9\cdot\left[1-\left(\frac{1+x}{3}\right)^2\right]\ge 0[/inlmath]:
[dispmath]8+2x-x^2=9-\left(1-2x+x^2\right)=9-\left(1-x\right)^2=9\left[1-\frac{\left(1-x\right)^2}{9}\right]=9\left[1-\left(\frac{1-x}{3}\right)^2\right][/dispmath]
Znači, iz [inlmath]8+2x-x^2\ge 0[/inlmath] sledi [inlmath]9\left[1-\left(\frac{1{\color{red}-}x}{3}\right)^2\right]\ge 0[/inlmath] a ne [inlmath]9\cdot\left[1-\left(\frac{1{\color{red}+}x}{3}\right)^2\right]\ge 0[/inlmath].

jovica je napisao:pa sledi [inlmath]\left|\frac{1+x}{3}\right|\le 1[/inlmath] pa sledi [inlmath]-4\le x\le 3[/inlmath], i posle kada se uvede smena [inlmath]t =\frac{1+x}{3}\in\left[-1,1\right],\;x=3t-1[/inlmath], i posle se uvodi smena [inlmath]s=\arccos t\in\left[0,\pi\right][/inlmath], i posle ima [inlmath]t=\cos s,\;\mathrm dt=\sin s\mathrm ds,\;\sin s\in\left[0,1\right][/inlmath] nije mi jasno zasto se oni uopste rade, i kako su dosli do njih, nije mi jasno koja je njihova svrha

Početni uslov je bio da potkorena veličina ne bude negativna (tj. da bude ili pozitivna ili nula), kako bi kvadratni koren bio definisan, a samim tim bila definisana i funkcija koja se integrali. Pa su tako (kako god da glasi početni izraz) došli do uslova [inlmath]\left|\frac{1+x}{3}\right|\le 1[/inlmath], pa sad tu opet imaš jednu grešku, jer iz toga ne sledi [inlmath]-4\le x\le 3[/inlmath]:
[dispmath]\left|\frac{1+x}{3}\right|\le 1\quad\Leftrightarrow\quad -1\le\frac{1+x}{3}\le 1\quad\Leftrightarrow\quad -3\le 1+x\le 3\quad\Leftrightarrow\quad -4\le x\le{\color{red}2}[/dispmath]
Ovo posle toga je OK, iz [inlmath]t\in\left[-1,1\right][/inlmath] zaista sledi [inlmath]\arccos t\in\left[0,\pi\right][/inlmath] (ako te to zbunjuje, ovde možeš videti grafik arkus kosinus funkcije), međutim, nakon toga opet imaš jednu grešku, jer iz [inlmath]t=\cos s[/inlmath] treba da se dobije [inlmath]\mathrm dt=-\sin s\mathrm ds[/inlmath] (s minusom!)
[inlmath]\sin s\in\left[0,1\right][/inlmath] je OK, to sledi iz [inlmath]s\in\left[0,\pi\right][/inlmath] (trigonometrijska kružnica).

jovica je napisao:ja sam ga probao uraditi preko [inlmath]3^2-(1-x)^2[/inlmath], i dobijem pomalo cudan rezultat sa [inlmath]\arcsin[/inlmath]- om jel mozete postaviti koje je konacno resenje tog zadatka?

Bih, vrlo rado, al' konačno rešenje ne znam ni ja, kad ne znam ni kako zadatak, zapravo, ispravno treba da glasi.

Ako je postavka [inlmath]\int \sqrt{8+2x-x^2} \mathrm{d} x[/inlmath], onda se na kraju dobije:
[dispmath]\int \sqrt{8+2x-x^2} \mathrm{d} x = \frac{x-1}{2} \sqrt{8+2x-x^2} - \frac{9}{2} \arcsin \frac{1-x}{3} + C[/dispmath]

-jeste tako glasi zadatak, ja cu napisati postupak koji je naveden u zbirci, iako nije tacan, samo me interesuje zasto su radjeni ti uslovi:
[dispmath]\int\sqrt{9-1+2x-x^2}\mathrm dx=\int\sqrt{9-(1+x)^2}\mathrm dx=\int\sqrt{9\left(1-\left(\frac{1+x}{3}\right)^2\right)}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\int 3\sqrt{1-t^2}\:3\:\mathrm dt=9\int\sqrt{(1-t)^2}\mathrm dt=9\int\sqrt{1-\cos^2s}(-\sin s)\mathrm ds=[/dispmath][dispmath]=9\int\left|\sin s\right|(-\sin s)\mathrm ds=-9\int\sin^2s\mathrm ds=\frac{9}{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)+c[/dispmath]
tamo u uslovu da je [inlmath]t=\cos s,\;dt=-\sin s\mathrm ds[/inlmath] sam ja pogresno prepisao bez minusa , ahm pogledacu to ste se tice [inlmath]\arcsin[/inlmath], samo mi nije jasno sto se u ovom zadatku pisu ti uslovi, a u nijednom drugom mi nije napisano
milovane, nije mi isto jel mozes napisati kako dobijes pre nego vratis [inlmath]x[/inlmath], i koja ti je smena

Milovan je napisao:Ako je postavka [inlmath]\int \sqrt{8+2x-x^2} \mathrm{d} x[/inlmath],

E, svaka ti čast kako ga samo ubode.

jovica je napisao:-jeste tako glasi zadatak, ja cu napisati postupak koji je naveden u zbirci, iako nije tacan

Da, definitivno nije tačan, zbog ovog

jovica je napisao:[dispmath]\int\sqrt{9-1+2x-x^2}\mathrm dx=\int\sqrt{9-(1{\color{red}+}x)^2}\mathrm dx=\cdots[/dispmath]

(treba, naravno, umesto plusa da stoji minus, a ta greška s plusom se dalje provlači kroz ceo postupak)
a na kraju, pretpostavljam, umesto [inlmath]\frac{9}{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)+c[/inlmath] treba da piše [inlmath]{\color{red}-}\frac{9}{2}\left({\color{red}s}-\frac{1}{2}\sin 2{\color{red}s}\right)+c[/inlmath] pa zatim treba vraćati smenu...

jovica je napisao:samo mi nije jasno sto se u ovom zadatku pisu ti uslovi, a u nijednom drugom mi nije napisano

Uslovi su potrebni zbog ovog koraka:

jovica je napisao:[dispmath]\cdots =9\int\left|\sin s\right|(-\sin s)\mathrm ds=-9\int\sin^2s\mathrm ds=\cdots[/dispmath]

Očigledno je da smo u ovom koraku znali da je [inlmath]\sin s\ge 0[/inlmath], čim smo mogli [inlmath]\left|\sin s\right|[/inlmath] da napišemo kao [inlmath]\sin s[/inlmath], čime je [inlmath]\left|\sin s\right|\left(-\sin s\right)[/inlmath] postalo [inlmath]-\sin^2s[/inlmath]. E sad, kako smo znali da je [inlmath]\sin s\ge 0[/inlmath]?

Da bi data funkcija bila definisana, pišemo uslov da je potkorena veličina veća od nule:
[dispmath]8+2x-x^2\ge 0[/dispmath]
to jest
[dispmath]-2\le x\le 4[/dispmath]
Nakon ispravne smene [inlmath]\frac{1-x}{3}=t[/inlmath] (a ne ove pogrešne smene [inlmath]\frac{1+x}{3}=t[/inlmath] s kojom su oni radili), dobijemo da je
[dispmath]-1\le t\le 1[/dispmath]
Nakon nove smene [inlmath]s=\arccos t[/inlmath] dobijemo da je taj arkus kosinus uvek definisan, jer je on definisan kada mu je argument u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], a [inlmath]t[/inlmath] se nalazi upravo u tom intervalu. E sad, vrednost arkus kosinusa je u intervalu [inlmath]\left[0,\pi\right][/inlmath] (grafik). Prema tome, [inlmath]s\in\left[0,\pi\right][/inlmath]. A to je onaj interval uglova čiji je sinus uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]\sin s\ge 0[/inlmath], što je podatak koji nam je bio potreban u koraku koji sam citirao.

jovica je napisao:milovane, nije mi isto jel mozes napisati kako dobijes pre nego vratis [inlmath]x[/inlmath], i koja ti je smena

Milovanovo rešenje je tačno, ali, ako si dobio [inlmath]\frac{x-1}{2}\sqrt{8+2x-x^2}+\frac{9}{2}\arccos\frac{1-x}{3}+C[/inlmath], onda je i tvoje rešenje tačno. Tj. to su dva ista rešenja, budući da je [inlmath]\arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x[/inlmath]:
[dispmath]\frac{x-1}{2}\sqrt{8+2x-x^2}+\frac{9}{2}\arccos\frac{1-x}{3}+C=\frac{x-1}{2}\sqrt{8+2x-x^2}+\frac{9}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{1-x}{3}\right)+C=[/dispmath][dispmath]=\frac{x-1}{2}\sqrt{8+2x-x^2}-\frac{9}{2}\arcsin\frac{1-x}{3}+\underbrace{\frac{9\pi}{4}+C}_C=\frac{x-1}{2}\sqrt{8+2x-x^2}-\frac{9}{2}\arcsin\frac{1-x}{3}+C[/dispmath]
a to je isto rešenje kao i Milovanovo.
Pretpostavljam da je Milovan umesto smene [inlmath]t=\cos s[/inlmath] uveo smenu [inlmath]t=\sin s[/inlmath], što je takođe ispravan način, potpuno ravnopravan s ovim načinom na koji su oni radili. Eto, možeš, radi vežbe, pokušati da uradiš i s tom smenom. Tada je [inlmath]s=\arcsin t[/inlmath], a pošto arkus sinus ima vrednosti u intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath], tada i [inlmath]s[/inlmath] leži u tom intervalu, pa će [inlmath]\left|\cos s\right|[/inlmath], koji će se par koraka kasnije pojaviti, biti isto što i [inlmath]\cos s[/inlmath], zato što je kosinus, za uglove u intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath] veći od nule ili jednak nuli.

ahm, doobro, skapirao sam otprilike kako smo dosli do uslova, samo mi izgleda kao da smo mi pretpostavili da je [inlmath]\sin s[/inlmath] veci ili jednak od nule, pa se to na kraju ispostavilo da je tako, jer tek posle tog koraka ubacujemo ostale smene.
a sto se resenja tice, ja dobijem [inlmath]\frac{-9}{2}\left(t-\frac{1}{2}\sin 2t\right)[/inlmath], ali kad zamenim smenu ne dobijem tako, kapiram da ne koristim dobro [inlmath]\arcsin[/inlmath], ja nisam koristio smenu[inlmath]\frac{1-x}{3}=t[/inlmath], vec sam ga resavao(necu pisati znak integrala ispred zato sto govorim samo kako sam se resio korena), [inlmath]\sqrt{3^2-(1-x)^2}=\sqrt{3^2-(3\sin t)^2}[/inlmath], i onda kad se to malo sredi ispadne [inlmath]3\sqrt{1-\sin^2t}=3\sqrt{\cos^2t}=3\cos t[/inlmath], i sad bi tu trebale biti apsolutne i uslovi [inlmath]\cos t\ge 0[/inlmath], i dalje se radi i dobije dobro. meni je smena bila
[inlmath]1-x=3\sin t\\
-\mathrm dx=3\cos t\mathrm dt\\
\mathrm dx=-3\cos t\mathrm dt[/inlmath]
i onda posto mi treba samo [inlmath]t[/inlmath] kako bi ga vratio u smenu
[inlmath]1-x=3\sin t\\
\frac{1-x}{3}=\sin t\\
t=\arcsin\frac{1-x}{3}[/inlmath]
i sad ja tako kada ga zamenim ne mogu nikako dobiti taj koren koji se vama javlja u resenju

jovica je napisao:samo mi izgleda kao da smo mi pretpostavili da je [inlmath]\sin s[/inlmath] veci ili jednak od nule, pa se to na kraju ispostavilo da je tako

Pa, ne – nismo pretpostavili da je [inlmath]\sin s\ge 0[/inlmath], već smo to zaključili – pogledaj još jednom obrazloženje koje sam napisao.

jovica je napisao:meni je smena bila
[inlmath]1-x=3\sin t[/inlmath]

Pa, dobro. Ti nisi postupno uvodio smene, prvo [inlmath]\frac{1-x}{3}=t[/inlmath] pa zatim [inlmath]t=\sin s[/inlmath], već si odmah uveo smenu [inlmath]\frac{1-x}{3}=\sin t[/inlmath] (s preskočenim onim međukorakom, tj. međusmenom), ali to je u principu to... Jedino što ti je ovde pod oznakom [inlmath]t[/inlmath] ono što je tamo bilo pod oznakom [inlmath]s[/inlmath]...

jovica je napisao:ispadne [inlmath]3\sqrt{1-\sin^2t}=3\sqrt{\cos^2t}=3\cos t[/inlmath], i sad bi tu trebale biti apsolutne i uslovi [inlmath]\cos t\ge 0[/inlmath]

Da, uslovi bi bili:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
x\in\left[-2,4\right]\\
t=\arcsin\frac{1-x}{3}
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\frac{1-x}{3}\in\left[-1,1\right]\quad\Rightarrow\quad t\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\quad\Rightarrow\quad\cos t\ge 0[/dispmath]

jovica je napisao:a sto se resenja tice, ja dobijem [inlmath]\frac{-9}{2}\left(t-\frac{1}{2}\sin 2t\right)[/inlmath]

Otprilike se to i dobije, samo si se zezno kod minusa, treba da bude [inlmath]\frac{-9}{2}\left(t{\color{red}+}\frac{1}{2}\sin 2t\right)[/inlmath] – proveri još jednom svoj postupak.

jovica je napisao:[inlmath]t=\arcsin\frac{1-x}{3}[/inlmath]
i sad ja tako kada ga zamenim ne mogu nikako dobiti taj koren koji se vama javlja u resenju

Kad koriguješ onaj minus u plus, dalje se radi ovako:
[dispmath]-\frac{9}{2}\left(t+\frac{1}{2}\sin 2t\right)=-\frac{9}{2}t-\frac{9}{4}\sin 2t=-\frac{9}{2}t-\frac{9}{4}\cdot 2\sin t\cos t=[/dispmath]
pa onda, pošto je [inlmath]\cos t\ge 0[/inlmath], možemo pisati [inlmath]\cos t=\left|\cos t\right|=\sqrt{\cos^2t}=\sqrt{1-\sin^2t}[/inlmath]:
[dispmath]=-\frac{9}{2}t-\frac{9}{2}\sin t\sqrt{1-\sin^2t}=\cdots[/dispmath]
zatim [inlmath]t[/inlmath] zameniš sa [inlmath]\arcsin\frac{1-x}{3}[/inlmath], a [inlmath]\sin t[/inlmath] zameniš sa [inlmath]\frac{1-x}{3}[/inlmath] i dalje ćeš znati...

da u pravu si ja sam se nesto istripovao, da smo kasnije uvodili smene i da se to kasnije nekako racunalo nemam pojma ni ja dobro sam dobio bio samo sam pogresno prepisao znak zahvaljujem, skapirao sam sve