MATEMANIJA

potrebna pomoc oko zadatka:
Odrediti u zavisnosti od prirodnih brojeva [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to 0+}\int\limits_x^{2x}\frac{\sin^m t}{t^n}\mathrm dt[/dispmath]
na kolokvijumu nisam uspeo da ga odradim,a interesuje me kako se radi,da znam za ubuduce

ako moze neko da mi ukaze sta sam uradio pogresno,s obzirom na to da mi se formula ne prikazuje u zeljenom obliku

sve je ok,samo ovo [inlmath]x[/inlmath] ne stoji u integralu nego je gornja granica [inlmath]2x[/inlmath]

Evo, ispravio sam i to.

Trenutno imam vremena samo da ti na brzinu odgovorim oko Latex-a. Greška ti je bila u tome što Latex-kôd nisi uokviro tagovima. Moraš ih uokviriti ili inlinemath-tagovima (ako želiš da formula bude prikazana unutar tekućeg reda), ili equation-tagovima (ako želiš da formula bude u zasebnom redu i istaknutija). Imaš o tome u uputstvu za Latex, drugi pasus.

A ovo s gornjom granicom je bila greška u tome što nisi celu tu gornju granicu stavio u vitičaste zagrade: {2x} Ovako je Latex-softver to protumačio kao da samo prvi karakter nakon ^, tj. 2, treba da bude unutar gornje granice.

ok,hvala na ispravkama

Pošto se granice integrala, s obzirom na limes, nalaze u desnoj okolini nule, bitno nam je kako se funkcija [inlmath]\frac{\sin^mt}{t^n}[/inlmath] ponaša u toj desnoj okolini nule. Tu funkciju možemo zapisati kao [inlmath]\frac{\sin^mt}{t^m}\cdot t^{m-n}[/inlmath], pri čemu [inlmath]\frac{\sin^mt}{t^m}[/inlmath] u okolini nule teži jedinici, tako da se funkcija pod integralom svodi samo na [inlmath]t^{m-n}[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to 0+}\int\limits_x^{2x} t^{m-n}\mathrm dt[/dispmath]
Za [inlmath]m-n=-1[/inlmath] integral se svodi na:
[dispmath]\lim_{x\to 0+}\int\limits_x^{2x}\frac{\mathrm dt}{t}=\lim_{x\to 0+}\left.\ln\left|t\right|\right|_x^{2x}=\lim_{x\to 0+}\left(\ln\left|2x\right|-\ln\left|x\right|\right)\;\overset{x>0}{=\!=}\;\lim_{x\to 0+}\left[\ln\left(2x\right)-\ln x\right]=\lim_{x\to 0+}\ln\frac{2x}{x}=\ln 2[/dispmath]
Za [inlmath]m-n\ne -1[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to 0+}\int\limits_x^{2x} t^{m-n}\mathrm dt=\frac{1}{m-n+1}\lim_{x\to 0+}\left. t^{m-n+1}\right|_x^{2x}=\frac{1}{m-n+1}\lim_{x\to 0+}\left[\left(2x\right)^{m-n+1}-x^{m-n+1}\right]=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{m-n+1}\lim_{x\to 0+}\left(2^{m-n+1}x^{m-n+1}-x^{m-n+1}\right)=\frac{2^{m-n+1}-1}{m-n+1}\lim_{x\to 0+}x^{m-n+1}[/dispmath]
Pa sad opet imamo dva slučaja:

[inlmath]m-n+1<0:[/inlmath]
[dispmath]\frac{2^{m-n+1}-1}{m-n+1}\lim_{x\to 0+}x^{m-n+1}=\frac{2^{m-n+1}-1}{m-n+1}\lim_{x\to 0+}x^{-\left|m-n+1\right|}=\frac{2^{m-n+1}-1}{m-n+1}\lim_{x\to 0+}\frac{1}{x^{\left|m-n+1\right|}}=+\infty[/dispmath]
[inlmath]m-n+1>0:[/inlmath]
[dispmath]\frac{2^{m-n+1}-1}{m-n+1}\lim_{x\to 0+}x^{m-n+1}=\frac{2^{m-n+1}-1}{m-n+1}\lim_{x\to 0+}x^{\left|m-n+1\right|}=0[/dispmath]

hvala na ekspresnom odgovoru

samo me zanima da li je ovo resenje u potpunosti korektno ovako ili pre ovoga moramo upotrebiti neku od teorema o srednjoj vrednosti integrala s obzirom na to da limes ne prolazi kroz integral u opstem slucaju.

Limes u opštem slučaju ne prolazi kroz integral, u smislu da je
[dispmath]\lim_{x\to a}\int f\left(x\right)\mathrm dx\ne\int\lim_{x\to a}f\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath]
međutim, u tvom zadatku se promenljiva koja teži nuli (tj. [inlmath]x[/inlmath]) i ne nalazi unutar funkcije pod integralom, već se nalazi u granicama integrala, u tome je razlika. A pošto određeni integral [inlmath]\int\limits_a^b f\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath], geometrijski gledano, predstavlja površinu ograničenu krivom funkcije i [inlmath]x[/inlmath]-osom na segmentu od [inlmath]a[/inlmath] do [inlmath]b[/inlmath], a ovde obe granice segmenta teže nuli, znači da nam je, kao što i napisah, bitno ponašanje funkcije u okolini nule. Drugo, pošto sâm interval teži nuli, posmatrana površina će, ako su sve vrednosti funkcije unutar tog intervala konačne, takođe težiti nuli, a samim tim i vrednost integrala. Za slučaj kada nisu sve vrednosti funkcije unutar tog intervala konačne, možemo imati i vrednost integrala koja je različita od nule, kao što se upravo i dobija postupkom koji sam priložio u prethodnom postu, a koji se više oslanja na intuiciju i na logiku, nego na neke striktne primene formula i teorema.

Primenom teoreme o srednjoj vrednosti nekako bismo i mogli pokazati da je limes integrala jednak beskonačnosti kada je [inlmath]m-n<-1[/inlmath], odnosno jednak nuli kada je [inlmath]m-n>-1[/inlmath], ali nam primena te teoreme ne bi bila od pomoći za slučaj [inlmath]m-n=-1[/inlmath] (kada za limes integrala treba da se dobije [inlmath]\ln 2[/inlmath]). Za taj slučaj bismo opet morali raditi na ovaj način koji sam pokazao.