Evo zadatka
Odrediti rješenje homogene jednadžbe:
[dispmath]\left(y'-\frac{y}{x}\right)\mathrm{arctg}\frac{y}{x}=1[/dispmath]
Formule za homogene jednadžbe su:
[inlmath]u=\frac{y}{x}\\
y'=u'x+u\\
\mathrm dy=x\,\mathrm du+u\,\mathrm dx[/inlmath]
s varijacijama na temu
[dispmath](1)\;\left(u'x+u-u\right)\:\mathrm{arctg}\:u=1[/dispmath][dispmath](2)\;u'x\:\mathrm{arctg}\:u=1[/dispmath][dispmath](3)\;\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}x\:\mathrm{arctg}\:u=1[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]
i kao konačno rješenje ispadne
[dispmath]\frac{y}{x}\mathrm{arctg}\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+y^2\right)=\ln c[/dispmath]
Mi smo na nastavi ostavili tako, a može li se još dodatno srediti... čini mi se da i nije zgodno

Zbog čega u koraku [inlmath](1)[/inlmath] nismo primjenili pravilo [inlmath]y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}[/inlmath] ? Je li možda to pravilo rezervirano samo za separirane diferencijalne jednadžbe te ga se u drugim vrstama ne smije koristiti, već npr. ovde treba samo koristiti ove formule sa [inlmath]u[/inlmath]?

eseper je napisao:[dispmath]\frac{y}{x}\mathrm{arctg}\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+y^2\right)=\ln c[/dispmath]
Mi smo na nastavi ostavili tako, a može li se još dodatno srediti... čini mi se da i nije zgodno

Može se još dodatno srediti. Ne znam zašto ste na desnoj strani ostavili [inlmath]\ln c[/inlmath], kad već to niste iskoristili za dalje sređivanje izraza. Umesto njega ste mogli samo da stavite [inlmath]c[/inlmath], a ovako mi to izgleda kao neki međukorak koji nije dalje iskorišćen.
Prebacimo [inlmath]\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)[/inlmath] na desnu stranu:
[dispmath]\frac{y}{x}\mathrm{arctg}\frac{y}{x}=\frac{1}{2}\ln\left(x^2+y^2\right)+\ln c[/dispmath][dispmath]\frac{y}{x}\mathrm{arctg}\frac{y}{x}=\ln\sqrt{x^2+y^2}+\ln c[/dispmath][dispmath]\frac{y}{x}\mathrm{arctg}\frac{y}{x}=\ln\left(c\sqrt{x^2+y^2}\right),\quad c>0[/dispmath]
i to je to, mislim da se dalje nema tu šta više sređivati.

eseper je napisao:Zbog čega u koraku [inlmath](1)[/inlmath] nismo primjenili pravilo [inlmath]y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}[/inlmath] ?

Odgovor na to pitanje si možeš sam dati ako pokušaš da primeniš to pravilo.
[dispmath]\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-\frac{y}{x}\right)\mathrm{arctg}\frac{y}{x}=1[/dispmath][dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-\frac{y}{x}=\frac{1}{\mathrm{arctg}\frac{y}{x}}\quad /\cdot\frac{\mathrm dx}{y}[/dispmath][dispmath]\frac{\mathrm dy}{y}-\frac{\mathrm dx}{x}=\frac{\mathrm dx}{y\cdot\mathrm{arctg}\frac{y}{x}}[/dispmath]
I? Šta ćeš sad dalje s tim? Ne ide.

eseper je napisao:Je li možda to pravilo rezervirano samo za separirane diferencijalne jednadžbe te ga se u drugim vrstama ne smije koristiti, već npr. ovde treba samo koristiti ove formule sa [inlmath]u[/inlmath]?

Tako je.

[dispmath]\left(y^2-2xy\right)\mathrm dx+x^2\mathrm dy=0[/dispmath]
2/3 sam rješio, dobio sam
[dispmath]\ln x+\ln c=\ln u-\ln (u-1)[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]xc=\frac{u}{u-1}[/dispmath]
i sada još umjesto [inlmath]u[/inlmath] napisati [inlmath]\frac{y}{x}[/inlmath] i rješenje, međutim nije mi jasno zašto je kod nekih zadataka izražen [inlmath]x[/inlmath] kao konačno rješenje, a kod nekih [inlmath]y[/inlmath]. Kako se to određuje, postoji li neko pravilo ili jednostavno gledati što je zgodnije od toga za izraziti? Kako bi išlo konačno rješenje ovog zadatka?

Zaboravio si apsolutne vrednosti:[dispmath]\ln\left|x\right|+\ln c=\ln\left|u\right|-\ln\left|u-1\right|[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]\left|xc\right|=\left|\frac{u}{u-1}\right|[/dispmath]

eseper je napisao:međutim nije mi jasno zašto je kod nekih zadataka izražen [inlmath]x[/inlmath] kao konačno rješenje, a kod nekih [inlmath]y[/inlmath]. Kako se to određuje, postoji li neko pravilo ili jednostavno gledati što je zgodnije od toga za izraziti?

Bitno je samo da u rešenju ne figuriše nijedan od izvoda funkcije [inlmath]y[/inlmath]. A to, da li ćeš rešenje napisati u eksplicitnom obliku, tj. [inlmath]y=f\left(x\right([/inlmath], ili u implicitnom, to je manje bitno. I kad je rešenje napisano u implicitnom obliku, kao jednačina u kojoj figurišu samo [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], ta jednačina opet predstavlja neku krivu u koordinatnom sistemu (ili familiju krivih, ako figuriše i konstanta), a to je ono što je trebalo odrediti.

eseper je napisao:Kako bi išlo konačno rješenje ovog zadatka?

[dispmath]\left|xc\right|=\left|\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}-1}\right|[/dispmath][dispmath]\left|xc\right|=\left|\frac{y}{y-x}\right|[/dispmath][dispmath]\left|y\right|=\left|cx\left(y-x\right)\right|[/dispmath][dispmath]y=\pm cx\left(y-x\right)[/dispmath][dispmath]y=\pm cxy\mp cx^2[/dispmath][dispmath]y\mp cxy=\mp cx^2[/dispmath][dispmath]y\pm cxy=\pm cx^2[/dispmath][dispmath]y\left(1\pm cx\right)=\pm cx^2[/dispmath][dispmath]y=\frac{\pm cx^2}{1\pm cx}[/dispmath][dispmath]y=\frac{\pm cx^2}{\pm c\left(x\pm \frac{1}{c}\right)}[/dispmath][dispmath]y=\frac{x^2}{x\pm \frac{1}{c}}[/dispmath][dispmath]y=\frac{x^2}{x+c}[/dispmath]
Ovakav oblik rezultata jeste zgodan, jer se iz njega vidi da je jedno od mogućih rešenja čak i [inlmath]y=x[/inlmath] (za [inlmath]c=0[/inlmath]), ali mislim da uopšte nema potrebe da ovoliko „glancaš“ rezultat kô što sam ja sad činio, verujem da bi ti priznali i da si ostavio implicitni oblik, [inlmath]y=\pm cx\left(y-x\right)[/inlmath].