MATEMANIJA

Mala pomoc drustvo, trebace mi neki primeri diferencijalnih jednacina, za pocetak ova 4, znam da je razlika u reci "resenje" i "opste resenje" tu foru znam, ali ne umem bas da nadjem primere, za prvu bih ja stavio [inlmath]\frac{1}{2}x+xy'=x[/inlmath], ne znam je li tacno i da li to prolazi, ne prihvataju bas trivijalna resenja.

Dati po jedan primer dif. jednacie cije je resenje:
a) d.j. prvog reda, resenje [inlmath]y=\frac{x}{2}[/inlmath]:
b) d.j. prvog reda, opste resenje [inlmath]y=Cx[/inlmath]:
c) Bernulijeva d.j., partikularno resenje [inlmath]y=3[/inlmath]:
d) d.j. drugog reda, dva partikularna resenja [inlmath]y_1=\pi\cdot\sin(2x)[/inlmath] i [inlmath]y_2=\cos(2x)[/inlmath]

Termin "rešenje" diferencijalne jednačine, po mom mišljenju, nije dovoljno specificiran. Opširnije na tu temu (i veoma detaljno) pisano je u ovom tutorijalu.
Ja ću to slobodnije interpretirati:

• Opšte rešenje (opšti integral) diferencijalne jednačine prvog reda zadovoljava polaznu diferencijalnu jednačinu i sadrži jednu konstantu. Analogno (ali uz dve konstante) imamo za diferencijalnu drugog reda itd.
• Partikularno rešenje dobija se iz opšteg kada konstanta (konstante) uzme (uzmu) neku konkretnu vrednost (vrednosti). Ovakvih rešenja ima beskonačno mnogo.
• Singularno rešenje (ako postoji) takođe zadovoljava postavljenu jednačinu, ali se ne može dobiti iz opšteg ni za jednu vrednost konstante (konstanti).

E, sad, nije da cepidlačim, ali šta je to "rešenje"? Može biti bilo šta od ova tri nabrojana. Ostaje da zaključim (iz postavljenih primera) da se pod terminom "rešenje" podrazumeva partikularno rešenje, pošto ni uz jedno nije data konstanta. Dalje,

maxaa je napisao:ne prihvataju bas trivijalna resenja

E to mi nije jasno. Da li to znači da treba "komplikovati" diferencijalnu jednačinu? Naime, iz "rešenja", ma kako ga zvali, može se postaviti neograničeno mnogo oblika polaznih diferencijalnih jednačina. Evo ja ću krenuti redom:

maxaa je napisao:a) d.j. prvog reda, resenje [inlmath]y=\frac{x}{2}[/inlmath]:

Pošto je rešenje u krajnjoj liniji integral polazne d.j., ja ću tu d.j. dobiti jednostavnim diferenciranjem:
[dispmath]y'=\frac{1}{2}[/dispmath]
Naravno, smatrao sam (a tako i jeste) da je ovo što je nazvano "rešenje" zapravo partikularno rešenje. A da se zakomplikuje oblik može na milion načina.

maxaa je napisao:b) d.j. prvog reda, opste resenje [inlmath]y=Cx[/inlmath]:

Ovo je interesantno. Meni je najzanimljivije reći:
[dispmath]xy'=y[/dispmath]

maxaa je napisao:c) Bernulijeva d.j., partikularno resenje [inlmath]y=3[/inlmath]

E, za Bernulijevu sam smislio ovo:
[dispmath]y'+xy=\frac{x}{3}y^2[/dispmath]
Kako sam došao do svega ovoga, kojim postupkom i slično, naravno da ću napisati. Mislim da sam i sada bio preopširan. A nisam zaboravio ni četvrti primer. Ali da bismo nastavili, neophodno je da se nastavi (od strane tebe ili nekog drugog) ova inače jako interesantna tema koju si pokrenuo.

Nadam se da ne smeta ako ja budem taj koji će nastaviti ovu zanimljivu temu.

Šta tačno znači „netrivijalno rešenje“? Da li je to rešenje u kojem, pored [inlmath]y'[/inlmath], obavezno figurišu i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]? Pod tom pretpostavkom, ponudio bih i ja svoja (netrivijalna) rešenja:

maxaa je napisao:a) d.j. prvog reda, resenje [inlmath]y=\frac{x}{2}[/inlmath]:

[dispmath]y=\frac{1}{2}x\quad\land\quad y'=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad y=y'x[/dispmath]

maxaa je napisao:b) d.j. prvog reda, opste resenje [inlmath]y=Cx[/inlmath]:

Ovaj slučaj je uopštenje slučaja pod a), jer je pod a) [inlmath]C=\frac{1}{2}[/inlmath]. Moje rešenje je isto kao i @desiderijevo, a evo i kako se dolazi do njega (vrlo slično kao i u prethodnom primeru):
[dispmath]y=Cx\quad\land\quad y'=C\quad\Rightarrow\quad y=y'x[/dispmath]

maxaa je napisao:c) Bernulijeva d.j., partikularno resenje [inlmath]y=3[/inlmath]:

Opšti oblik Bernulijeve d.j. glasi
[dispmath]y'+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n[/dispmath]
Pošto partikularno rešenje treba da bude [inlmath]y=3[/inlmath], tj. [inlmath]y[/inlmath] je konstanta, njen izvod će biti nula, [inlmath]y'=0[/inlmath], odakle sledi
[dispmath]3P\left(x\right)=3^nQ\left(x\right)\quad\Rightarrow\quad P\left(x\right)=3^{n-1}Q\left(x\right)[/dispmath]
što znači da polinomi [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] treba da budu istog stepena, a koeficijenti polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] su [inlmath]3^{n-1}[/inlmath] puta veći od odgovarajućih koeficijenata polinoma [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath]. Prema tome, tražena Bernulijeva d.j. glasiće
[dispmath]y'+3^{n-1}Q\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n[/dispmath]
gde je [inlmath]n[/inlmath] realan broj, [inlmath]n\notin\left\{0,1\right\}[/inlmath], a [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] može biti bilo koji polinom.
Za [inlmath]n=2[/inlmath] i [inlmath]Q\left(x\right)=\frac{x}{3}[/inlmath] dobije se @desiderijevo rešenje. Moguća rešenja su i:
[dispmath]n=3,\;Q\left(x\right)=x^2+5x-2:\qquad y'+9\left(x^2+5x-2\right)y=\left(x^2+5x-2\right)y^3[/dispmath][dispmath]n=5,\;Q\left(x\right)=x-4:\qquad y'+81\left(x-4\right)y=\left(x-4\right)y^5[/dispmath]
[dispmath]n=\frac{2}{3},\;Q\left(x\right)=2x^3+4x^2-5x+3:\qquad y'+3^{-1/3}\left(2x^3+4x^2-5x+3\right)y=\left(2x^3+4x^2-5x+3\right)y^{2/3}[/dispmath]
itd.

Ostaje još taj četvrti primer.

Pre svega da se izvinim, sto nisam na vreme video i zahvalio na odgovoru, ne znam iz kog razloga mi je email opet poceo da bezi u spam, a na forum nisam ulazio da proverim. Bio mi je potreban samo ovaj princip na osnovu kog se traze primeri. Takodje ce mi ovo ponovo trebati za ispit, tako da nije na stetu sto kasnim ovoliko sa citanjem posta.

Pod trivijalnim resenjem mislim da smatraju ono sto je ocigledno, tj bas prost odgovor i mislim da bas traze da se da komplikovaniji primer, jer su za te jednostavne/trivijalne primere skidali poene, tj nisu ni davali.

Hvala jos jednom na opsirnim i jasnim odgovorima.

Mislim da bi bilo super ako bi nam napisao rešenje kao i postupak u vezi sa četvrtim zadatkom.
To nije tvoja obaveza ali to bi koristilo drugim korisnicima, siguran sam .

Vrlo rado, ali nisam dobio odgovor tj. resenje na ovo pitanje, jer je iz teorijskog dela, a daju nam samo resenja zadataka nakon ispita, takodje sam bas ne mogu da dam odgovor, jer bih mogao samo da lupim. Pretpostavljam da se radi o nekoj nehomogenoj dj. zbog ovih partikularnih koja su data, ali to je opet samo nagadjanje. Pozdrav