MATEMANIJA

Zanimaju me samo neke sitnice kod ovih diferencijalnih jednacina, jer se sa ovom oblascu susrecem prvi put. Kosultovao sam se sa administratorom, pa mi je dozvolio da objavim vise jednacnina odjednom u istoj temi. Sve jednacine radio sam kao jednacine koje razdvajaju promenljive, pa me zanima da li sam dobro odredio tip i da li sam dobro opste resenje izrazio preko [inlmath]y[/inlmath].

Ono sto me buni u svim jednacinama je konstanta [inlmath]C[/inlmath], ali u onom delu kad resenje treba da izrazim preko [inlmath]y[/inlmath]. Jednostavno ne znam gde ta konstanta treba "da ode".
[dispmath]1)\enspace2x^2yy'+y^2=2[/dispmath][dispmath]\ln\left|2-y^2\right|=\frac{1}{x}+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=\pm\sqrt{-e^{\frac{1}{x}+C}+2}}[/dispmath]

---

[dispmath]2)\enspace y'-x^2=y\left(x^2y+x^2-2y'\right)[/dispmath][dispmath]\ln\left|y^2+y+1\right|=\frac{x^3}{3}+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y^2+y=e^{\frac{x^3}{3}+C}-1}[/dispmath]

---

[dispmath]3)\enspace(x+1)y'+xy=0[/dispmath][dispmath]\ln|y|=\ln|x+1|-x+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=C(x+1)e^{-x}}[/dispmath]

---

[dispmath]4)\enspace(xy+2y)y'=x^2+3x-2[/dispmath][dispmath]\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}-2x+4\ln|x+2|+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=\pm\sqrt{x^2-4x+8\ln|x+2|+C}}[/dispmath]
Ako neko stigne da pogleda, zahvaljujem.

Ovo pod 2) se moze jos resiti (ako bas zelis), kao jednacina po [inlmath]y[/inlmath], a pod 3) nije dobro (premda se resenje moze zapisati i u tom obliku).

Pre svega se slažem s kolegom Onomatopejom, a što se tiče tvog pitanja Ilija, malo ću se raspisati jer mislim da je tvoje pitanje baš na mestu.

Ako je [inlmath]C[/inlmath] fiksirano, to jest konstanta, onda se opštim rešenjem diferencijalne jednačine prvog reda naziva funkcija [inlmath]y=g(x,C)[/inlmath] koja identički zadovoljava jednačinu za sve vrednosti konstante [inlmath]C[/inlmath].
Obično se zahteva da integralna kriva (geometrijski, rešenja diferencijalne jednačine predstavljena su krivim linijama) prolazi kroz neku tačku [inlmath](x_0,y_0)[/inlmath].
Ovo je u vezi s tzv. početnim uslovima, npr. [inlmath]y(x_0)=y_0[/inlmath].
Konkretno, odgovor na tvoje pitanje je pomalo složen.
Ako možeš rešenje diferencijalne jednačine izraziti eksplicitno, tj. [inlmath]y[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], onda ti je to super. Kao npr. u tvojoj jednačini br. 3.
[inlmath]C[/inlmath] "uvali" da se tako izrazim, izvini, gde god želiš, no je neophodno da dj prvog reda u opštem rešenju sadrži jednu konstantu. I samo jednu konstantu. Isto tako, opšte rešenje dj drugog reda (sa drugim izvodom promenljive [inlmath]y[/inlmath]) mora sadržati dve konstante.
E sada da li pišeš npr. [inlmath]e^C=C_1[/inlmath] ili [inlmath]\frac{C}{2}=C_1[/inlmath], to je stvar ukusa.
A rešenje dj možeš dati i u eksplicitnom i u implicitnom obliku, no najbitnije je šta se zapravo zahteva u zadatku.

Onomatopeja je napisao:Ovo pod 2) se moze jos resiti (ako bas zelis), kao jednacina po [inlmath]y[/inlmath],

Ostavio sam ovako, jer ne znam kako da izrazim resenje preko [inlmath]y[/inlmath].

Onomatopeja je napisao:a pod 3) nije dobro (premda se resenje moze zapisati i u tom obliku).

U kom smislu mislis da nije dobro? Da li bi trebalo da bude zapisano drugacije?

desideri je napisao:[inlmath]C[/inlmath] "uvali" da se tako izrazim, izvini, gde god želiš, no je neophodno da dj prvog reda u opštem rešenju sadrži jednu konstantu. I samo jednu konstantu.

Nisam ocekivao ovakav odgovor. Posto vidim da je to izgleda slozenije nego sto sam mislio, ovo zvuci kao nesto sto je za sad najlakse po mene.

Ilija je napisao:Ostavio sam ovako, jer ne znam kako da izrazim resenje preko [inlmath]y[/inlmath].

Pa shvatis sve kao kvadratnu jednacinu po [inlmath]y[/inlmath]. Prebacis [inlmath]e^{\large\frac{x^3}{3}+C}-1[/inlmath] na levu stranu, i onda, jel', resis.

Ilija je napisao:U kom smislu mislis da nije dobro? Da li bi trebalo da bude zapisano drugacije?

Resenje koje je trebalo da dobijes je [inlmath]y=(x+1)e^{C-x}[/inlmath], gde [inlmath]C\in\mathbb{R}[/inlmath]. Ali, ako bi stavio [inlmath]e^C=C_1[/inlmath], onda bi mogao da zapises slicno kao sto si i ti uradio, odnosno [inlmath]y=C_1(x+1)e^{-x}[/inlmath], pri cemu [inlmath]C_1\in\mathbb{R}_{>0}[/inlmath].

_____________________________________

I sad ne znam, ali nema nista too complicated oko resenja. Jednostavno, ako imas jednacinu prvog reda onda u opstem resenju ocekujes da se pojavi neodredjena konstanta, a ako imas jednacinu [inlmath]n[/inlmath]-tog reda (pojavljuje se [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod od [inlmath]y[/inlmath]), onda ocekujes (i imaces) u resenju [inlmath]n[/inlmath] neodredjenih konstanti. Druga je stvar ako imas neki pocetni uslov, jer onda mozes i odrediti tacno koliko je ta konstanta.

Onomatopeja je napisao:Pa shvatis sve kao kvadratnu jednacinu po [inlmath]y[/inlmath].

Toliko ocigledno, a ne bi mi palo na pamet.

Jasnije mi je sad to u vezi sa konstantom [inlmath]C[/inlmath]. Upravo me je to i bunilo (da li je [inlmath]C[/inlmath] ili cu zameniti [inlmath]e^C=C_1[/inlmath], gde sta ide i sl.), ali sada nema zabune.

---

Samo da zavrsim resenje za jednacinu pod [inlmath]2)[/inlmath]:
[dispmath]y^2+y-e^{\frac{x^3}{3}+C}+1=0\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=\frac{1}{2}\left(\pm\sqrt{4e^{\frac{x^3}{3}+C}-3}-1\right)}[/dispmath]

Ja bih imao dve primedbe.

Ilija je napisao:[dispmath]1)\enspace2x^2yy'+y^2=2[/dispmath][dispmath]\ln\left|2-y^2\right|=\frac{1}{x}+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=\pm\sqrt{-e^{\frac{1}{x}+C}+2}}[/dispmath]

Tačno si dobio [inlmath]\ln\left|2-y^2\right|=\frac{1}{x}+C[/inlmath], međutim, kad si računao eksplicitni oblik, zanemario si apsolutne zagrade:
[dispmath]\ln\left|2-y^2\right|=\frac{1}{x}+C\\
\left|2-y^2\right|=e^{\frac{1}{x}+C}\\
2-y^2=\pm e^{\frac{1}{x}+C}\\
y^2=2\pm e^{\frac{1}{x}+C}\\
y=\pm\sqrt{2\pm e^{\frac{1}{x}+C}}\\
y_1=\pm\sqrt{2-e^{\frac{1}{x}+C}},\quad y_2=\pm\sqrt{2+e^{\frac{1}{x}+C}}[/dispmath]
Eksplicitni oblik koji si ti dobio odgovara samo funkciji [inlmath]y_1[/inlmath], ne i funkciji [inlmath]y_2[/inlmath].
Međutim, upravo za funkciju [inlmath]y_1[/inlmath] vidimo da ona neće biti definisana kada je potkorena veličina negativna (tj. kada je [inlmath]e^{\frac{1}{x}+C}>2[/inlmath]), tako da za te vrednosti [inlmath]x[/inlmath] neće biti definisana ni polazna diferencijalna jednačina. Ako se traži da polazna diferencijalna jednačina bude definisana za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath], tada moramo odbaciti rešenje [inlmath]y_1[/inlmath] i usvojiti samo rešenje [inlmath]y_2[/inlmath] (kod kojeg je potkorena veličina pozitivna za svaku vrednost [inlmath]x[/inlmath]).
(U drugom zadatku, u kojem se dobije [inlmath]\ln\left|y^2+y+1\right|=\frac{x^3}{3}+C[/inlmath], nemamo taj problem, budući da je izraz [inlmath]y^2+y+1[/inlmath] pozitivan za svako realno [inlmath]y[/inlmath], tako da se kod njega možemo i osloboditi apsolutne vrednosti, tj. pisati samo [inlmath]\ln\left(y^2+y+1\right)=\frac{x^3}{3}+C[/inlmath], pa je to onda [inlmath]y^2+y+1=e^{\frac{x^3}{3}+C}[/inlmath] a ne [inlmath]y^2+y+1=\pm e^{\frac{x^3}{3}+C}[/inlmath], tako da ti je drugi zadatak OK – uz ovu korekciju koju je Onomatopeja napisao).

Ilija je napisao:[dispmath]4)\enspace(xy+2y)y'=x^2+3x-2[/dispmath][dispmath]\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}-2x+4\ln|x+2|+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=\pm\sqrt{x^2{\color{red}-4x}+8\ln|x+2|+C}}[/dispmath]

Ovo crveno ti je pogrešno:
[dispmath]\left(xy+2y\right)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x^2+3x-2\\
y\left(x+2\right)\mathrm dy=\left(x^2+3x-2\right)\mathrm dx\\
y\mathrm dy=\frac{x^2+3x-2}{x+2}\mathrm dx\\
y\mathrm dy=\left(x+1-\frac{4}{x+2}\right)\mathrm dx\\
\frac{1}{2}\cdot2y\mathrm dy=\left(x+1\right)\mathrm dx-4\frac{\mathrm dx}{x+2}\\
\frac{1}{2}y^2=\frac{\left(x+1\right)^2}{2}-4\ln\left|x+2\right|+c\\
y^2=x^2+2x-8\ln\left|x+2\right|+2c+1\\
y^2=x^2+2x-8\ln\left|x+2\right|+C\\
\enclose{box}{y=\pm\sqrt{x^2{\color{green}+2x}-8\ln\left|x+2\right|+C}}[/dispmath]
uz uslov [inlmath]\min\left(x^2+2x-8\ln\left|x+2\right|\right)+C\ge0[/inlmath] ako se traži da diferencijalna jednačina bude definisana za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath], odakle se nađe minimalna vrednost za [inlmath]C[/inlmath]...

Daniel je napisao:Tačno si dobio [inlmath]\ln\left|2-y^2\right|=\frac{1}{x}+C[/inlmath], međutim, kad si računao eksplicitni oblik, zanemario si apsolutne zagrade:
[dispmath]y_1=\sqrt{2-e^{\frac{1}{x}+C}},\quad y_2=\sqrt{2+e^{\frac{1}{x}+C}}[/dispmath]

Razmisljao sam o apsolutnim vrednostima i nacinu na koji se oslobadjamo ovde. Moracu da povedem racuna o tome. Shvatio sam zasto cemo odbaciti [inlmath]y_1[/inlmath], i kao resenje prihvatiti samo [inlmath]y_2[/inlmath], ali mi nije jasno zasto kad vadimo koren, odnosno izrazavamo preko [inlmath]y[/inlmath], nemamo [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena. Ne treba da se pise?

Daniel je napisao:[dispmath]\enclose{box}{y=\pm\sqrt{x^2{\color{green}+2x}-8\ln\left|x+2\right|+C}}[/dispmath]
uz uslov [inlmath]\min\left(x^2+2x-8\ln\left|x+2\right|\right)+C\ge0[/inlmath] ako se traži da diferencijalna jednačina bude definisana za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath], odakle se nađe minimalna vrednost za [inlmath]C[/inlmath]...

Sto se tice ovog resenja, uradio sam ga tacno, verovatno sam pogresio u kucanju. Izvinjavam se na tome, jer se uvek trudim da proverim napisano.

Ilija je napisao:ali mi nije jasno zasto kad vadimo koren, odnosno izrazavamo preko [inlmath]y[/inlmath], nemamo [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena. Ne treba da se pise?

Treba, svakako, to sam bio greškom izostavio, primetio sam to i ja, i bukvalno nekoliko sekundi pre nego što si poslao svoj reply, editovao sam svoj post dodavši to [inlmath]\pm[/inlmath].

Ilija je napisao:Sto se tice ovog resenja, uradio sam ga tacno, verovatno sam pogresio u kucanju. Izvinjavam se na tome, jer se uvek trudim da proverim napisano.

Ne treba da se izvinjavaš, taman posla, samo sam mislio da si uradio pogrešno, pa sam želeo da ti pomognem pokazavši ti ispravan postupak.