MATEMANIJA

Pozdrav svima.

Imam par pitanja koja me bune, a tiču se nehomogenih diferencijalnih jednačina (drugog reda) sa konstantnim koeficijentima.

~ Primjer
[dispmath]y''+3y'+2y=x\sin x[/dispmath]
~ Rješenja karakteristične homogene jednačine su
[dispmath]r_1=-1\quad i\quad r_2=-2,[/dispmath]
tj.
[dispmath]y_H=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}[/dispmath]
~ Po dobro poznatim pravilima (link) lako je uočiti da su [inlmath]m=0,\;n=1,\;\max\bigl(\text{st}(P_1),\text{st}(P_2)\bigr)=1[/inlmath], a kako [inlmath]m\pm ni[/inlmath] nisu korijeni karakteristične jednačine, onda bi partikularno rješenje izgledalo ovako
[dispmath]y_P=(Ax+B)\cos x+(Cx+D)\sin x[/dispmath]
~ E sad, moja dva pitanjca bi bila

1. Da li sam tačno napisao oblik potencijalnog partikularnog rješenja?

2. Kad tražimo izvode (prvi i drugi) ovog potencijalnog partikularnog rješenja i uvrstimo ih u početnu jednačinu, interesuje me kako grupišemo članove, tj. dobiće se članovi koji sadrže i [inlmath]x,\sin x/\cos x[/inlmath], kao i članovi koji sadrže samo [inlmath]\sin x/\cos x[/inlmath]?

~ Ja sam to grupisao posebno one koji sadrže i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]\sin x/\cos x[/inlmath], i one koji sadže samo trigonometrijsku funkciju i naravno nepoznati koeficijent; tako da se na kraju dobije sistem od 4 jednačine iz kojih sam izračunao nepoznate koeficijente
[dispmath]A=\frac{-3}{10},\quad B=\frac{-1}{50},\quad C=\frac{1}{10},\quad D=\frac{12}{50}[/dispmath]
pa bi partikularno rješenje bilo
[dispmath]y_P=\left(\frac{-3}{10}x-\frac{1}{50}\right)\cos x+\left(\frac{1}{10}x+\frac{12}{50}\right)\sin x[/dispmath]
~ Konačno rješenje bi na kraju izgledalo ovako
[dispmath]y=y_H+y_P=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}+\left(\frac{-3}{10}x-\frac{1}{50}\right)\cos x+\left(\frac{1}{10}x+\frac{12}{50}\right)\sin x[/dispmath]
Bilo kakav konstruktivan komentar ili kritika su dobro došli.

Hvala.

Gandalf je napisao:tako da se na kraju dobije sistem od 4 jednačine iz kojih sam izračunao nepoznate koeficijente
[dispmath]A=\frac{-3}{10},\quad B=\frac{-1}{50},\quad C=\frac{1}{10},\quad D=\frac{12}{50}[/dispmath]

Koeficijenti bi trebalo da budu:
[dispmath]A=-\frac{3}{10},\quad B=\frac{17}{50},\quad C=\frac{1}{10},\quad D=\frac{6}{50}[/dispmath]
odnosno konacno resenje:
[dispmath]\enclose{box}{y=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}-\frac{3}{10}x\cos x+\frac{17}{50}\cos x+\frac{1}{10}x\sin x+\frac{6}{50}\sin x}[/dispmath]

Gandalf je napisao:1. Da li sam tačno napisao oblik potencijalnog partikularnog rješenja?

Pa mozes ih ovako grupisati, a mozes ostaviti i negrupisano (uz [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath]).

Gandalf je napisao:2. Kad tražimo izvode (prvi i drugi) ovog potencijalnog partikularnog rješenja i uvrstimo ih u početnu jednačinu, interesuje me kako grupišemo članove, tj. dobiće se članovi koji sadrže i [inlmath]x,\sin x/\cos x[/inlmath], kao i članovi koji sadrže samo [inlmath]\sin x/\cos x[/inlmath]?

Pa najlakse je grupisati onako kako je postavljeno [inlmath]f(x)[/inlmath] (ako je jednacina oblika [inlmath]y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)[/inlmath]), da bi lako mogao da ocitas cemu ce biti jednaka svaka jednacina sa koeficijentima. Jeste da je uopsteno, ali to je sustina.