MATEMANIJA

Pozdrav,

Data je d.j. II reda oblika [inlmath]F(y,y',y'')[/inlmath] i glasi [inlmath]2yy''-3y'^2-4y^2=0[/inlmath], trazi se opste resenje,koje ja naravno,ne mogu da nadjem
Uveo sam smenu
[dispmath]p=y'\;\Longrightarrow\;y''=p'_y\cdot p[/dispmath]
Koristeci navedenu smenu,jednacinu sam sveo na Bernulijevu I reda koja glasi:
[dispmath]p'_y-\frac{3}{2y}p=2yp^{-1}[/dispmath]
Sada,kako je [inlmath]\alpha=-1[/inlmath], uvodi se smena
[dispmath]p^2=u\;\Longrightarrow\;u'=2pp'_y[/dispmath]
Jednacina se pomnozi sa [inlmath]2p[/inlmath], dobija se
[dispmath]2pp'_y-\frac{3p^2}{y}=4y[/dispmath]
Odnosno,sa smenom
[dispmath]u'-\frac{3}{y}u=4y[/dispmath]
sto predstavlja linearnu d.j. prvog reda.
Problem nastaje kasnije kada pokusam ovo da resim,nikako se ne poklapa.Ako neko moze da baci pogled i kaze da li je do ovde tacno,bio bih zahvalan

Ovo je diferencijalna jednačina drugog reda koja ne sadrži [inlmath]x[/inlmath] tako da je ok smena koju si uveo, tako se radi:
[dispmath]p=y'\;\Longrightarrow\;y''=p'_y\cdot p[/dispmath]
Tačno si i zamenio i sveo na Bernulijevu.
Potom bi i dobijena linearna trebalo da je tačna (proveriću još), i lako se rešava.
Da li si ti vratio obe smene i u rešenju dobio dve konstante?
Morale bi biti dve konstante u opštem rešenju dj drugog reda.
Ako imaš rezultat, značilo bi mi da ga postuješ pa da ga uradimo do kraja pošto nije jasno šta se "ne poklapa".
Ponavljam, linearna na kraju je baš lagana.

Evo i da se doreknem: stvarno nisam našao grešku u tvom postupku. Rešenje ove linearne na kraju tvog posta je:
[dispmath]u=c_1y^3-4y^2[/dispmath]
E sada to treba vraćati unazad, najpre je [inlmath]u=p^2[/inlmath] a potom i [inlmath]p=y'[/inlmath].
Ja sam kao ukupan rezultat dobio jednu trigonometrijsku funkciju.

Isto resenje sam dobio,ali kad vratim smenu dobijem [inlmath]y[/inlmath] sa obe strane i to me buni.Verovatno sam nesto pogresio pri vracanju smene.Zaboravio sam da napisem resenje bez vracanja smene u prvom postu,izvinjavam se.
Uradicu ponovo pa cu napisati sta sam dobio.
Hvala na pomoci!