MATEMANIJA

Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine:
[dispmath]a)\;y'=2\left(\frac{y+2}{x+y-1}\right)^2\\
b)\;y''+4y=2+(8x-1)\sin2x[/dispmath]
Kod prve bi trebalo zameniti [inlmath]y'[/inlmath] kao [inlmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}[/inlmath] i prebaciti sve [inlmath]x[/inlmath] na jednu stranu, a sve [inlmath]y[/inlmath] na drugu. Ali mi uvek ostane neki [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath] član na suprotonoj strani i uopšte ne mogu da ih razgraničim.

Kod druge ne znam odakle da počnem pošto nikad nismo radili primere sa [inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath], već smo sve rešavali preko ∧

Ta metoda koju si spomenula (u prvom primeru) koristi se kod diferencijalnih jednacina (prvog reda) koje razdvajaju promenljive. Ali, ova tvoja jednacina nije takva, te se ne moze direktno primeniti spomenuta metoda.

Ali, prva jednacina je diferencijalna jednacina oblika [inlmath]\displaystyle y'=f\Bigl(\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\Bigr)[/inlmath] i ona se, u zavisnosti od koeficijenata [inlmath]a,b,c,a_1,b_1,c_1[/inlmath], moze svesti ili na homogenu diferencijalnu jednacinu ili na diferencijalnu jednacinu koja razdvaja promenljive. Pokusaj da nadjes negde u svesci celu tu pricu.

Druga diferencijalna jednacina predstavlja primer nehomogene linearne diferencijalne jednacine drugog reda. Ona se obicno resava tako sto se prvo odredi opste resenje odgovarajuce homogene diferencijalne jednacine, a onda se nadje jedno partikularno resenje nehomogene jednacine (i za to partikularno se, obicno (u normalnijim primerima), zna kako bi trebalo da izgleda). Drugi nacin, umesto trazenja jednog partikularnog, bio bi da se primeni Lagranzova metoda varijacije konstanti.

No, pre toga, meni nije jasno kako ste vi resavali slicne primere? (ovo [inlmath]\land[/inlmath] mi je bas misterija)

Uspela sam da rešim prvu, koristeći determinantu i smenu [inlmath]x=u+\alpha[/inlmath], [inlmath]y=v+\beta[/inlmath]
[dispmath]\beta+2=0\quad\Rightarrow\quad\beta=-2\\
\alpha+\beta-1=0\\
\alpha=3\\
y'=\frac{2(v-2+2)^2}{(u+3+v-2-1)^2}=\frac{2v^2}{(u+v)^2}\\
\left.\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}=\frac{2v^2}{v^2+2vu+u^2}\quad\right/:u^2\\
\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}=\frac{2\frac{v^2}{u^2}}{\frac{v^2}{u^2}+2\frac{v}{u}+1}[/dispmath]
smena: [inlmath]w=\frac{v}{u}[/inlmath]
[dispmath]u\cdot w'+w=\frac{2w^2}{w^2+2w+1}\\
u\frac{\mathrm dw}{\mathrm du}+w=\frac{2w^2}{w^2+2w+1}\\
u\frac{\mathrm dw}{\mathrm du}=\frac{2w^2}{w^2+2w+1}-w\\
u\frac{\mathrm dw}{\mathrm du}=\frac{2w^2-w^3-2w^2-w}{w^2+2w+1}\\
\left.u\frac{\mathrm dw}{\mathrm du}=\frac{-w\left(w^2+1\right)}{(w+1)^2}\quad\right/:\mathrm dw\\
\frac{\mathrm du}{u}=\frac{(w+1)^2\mathrm dw}{-w\left(w^2+1\right)}\\
I=\frac{(w+1)^2}{-w\left(w^2+1\right)}=\frac{A}{-w}+\frac{Bw+C}{w^2+1}=\cdots=\int\frac{1}{-w}\mathrm dw+\int\frac{-2}{w^2+1}\mathrm dw\\
=-\int\frac{1}{w}\mathrm dw-2\int\frac{1}{w^2+1}\mathrm dw\\
=-\ln|w|-2\text{tg}^{-1}w\\
\ln|u|+c=-\ln|w|-2\text{tg}^{-1}w,\;w=\frac{v}{u}=\frac{y+2}{x-3}\\
\ln|uc|=-\ln\left|\frac{v}{u}\right|-2\text{tg}^{-1}\left|\frac{v}{u}\right|\\
\ln|c(y+2)|=-\ln\left|\frac{y+2}{x-3}\right|-2\text{tg}^{-1}\left|\frac{y+2}{x-3}\right|[/dispmath]
a ∧- predstavlja lambdu [inlmath](\lambda)[/inlmath]

Kako da rešim ovu drugu ?
imam [inlmath]y''+4y=2+(8x-1)\sin2x[/inlmath]
[inlmath]\lambda^2+4\lambda=0\quad\Rightarrow\quad\lambda_1=0,\;\lambda_2=-4[/inlmath]
Odatle [inlmath]\left\{1,e^{-4x}\right\}[/inlmath]
[inlmath]b(x)=2+(8x-1)\sin2x[/inlmath] Kako odavde da odredim [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath]?

Razdvojis na dve jednacine koje imaju nehomogene delove [inlmath]2[/inlmath], odnosno [inlmath](8x-1) \sin 2x[/inlmath], i onda nadjes partikularno prve, tj. druge jednacine. Tada ce partikularno (jedno od) cele pocetne nehomogene jednacine biti zbir ova dva partikularna resenja.

Inace, drugi put malo konkretnija prica, [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i slicno, jer nemam ja pored sebe tvoju svesku (niti znam kako ste radili). [mogu pretpostaviti sta oni predstavljaju, no ne zelim da se bavim gatanjem]

Hvala na objašnjenju.
Mislila sam na ovu formulu [inlmath]b(x) = e^{\alpha \cdot x } \cdot (P_n(x)\cos\beta \cdot x +Q_m(x)\sin\beta \cdot x)[/inlmath] , pa sam zato napisala [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] .

Obrati paznju da u toj formuli imas [inlmath]\cos (\beta x)[/inlmath], a ne [inlmath]\cos \beta \cdot x[/inlmath] (slicno za sinus). Koliko sam razumeo, uspela si da dovrsis zadatak?

Tako sam napisla da mi ne bi javljalo grešku zbog latexa, i da.