MATEMANIJA

Veliki pozdrav svima, imam jedno pitanje iz diferencijalnih jednačina prvog reda. Naime imam jednačinu sledećeg oblika:

[inlmath](x+y^2)dx-2xydy=0[/inlmath]

[inlmath]\frac{dP}{dy}\neq\frac{dQ}{dx}[/inlmath]

Tada izraz množimo sa funkcijom [inlmath]\lambda=\lambda(x)[/inlmath] dok u slučaju ovog zadatka:

[inlmath]\frac{y}{x}dx+(y^3-\ln x)dy=0[/inlmath]

jednačinu množimo sa [inlmath]\lambda=\lambda(y)[/inlmath].

Moje pitanje je kako da odredim sa kojom funkcijom da množim, odnosno od čega to zavisi. Pogledao sam u knjigama i tamo sam pronašao nešto složenija rešenja tj. da se jednačina množi nekada i sa [inlmath]\lambda=\lambda(x,y)[/inlmath]

Ako možete da mi objasnite jednostavno kako određujem ovu funkciju a postupak rešavanja mi je jasan osim ovog dijela.

Kada se trazi integracioni faktor u obliku [inlmath]\lambda = \lambda(w)[/inlmath], gde je [inlmath]w=w(x,y)[/inlmath], onda se obicno dolazi do problema resavanje diferencijalne jednacine
[dispmath]\frac{d \lambda}{\lambda} = \frac{\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}{P \frac{\partial w}{\partial y} - Q \frac{\partial w}{\partial x}} dw[/dispmath] i odatle, posle ubacivanja [inlmath]P,Q,\frac{\partial P}{\partial y}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\partial Q}{\partial x}[/inlmath] je potrebno da se nasluti sta mozemo uzeti za [inlmath]w=w(x,y)[/inlmath] kako bismo posle umeli da izracunamo iz date jednacine i samo [inlmath]\lambda[/inlmath].

Npr. u tvom prvom primeru bismo dobili [dispmath]\frac{d\lambda}{\lambda} = \frac{-4y}{(x+y^2) \frac{\partial w}{\partial y} + 2xy \frac{\partial w}{\partial x}}dw,[/dispmath] te bi trebalo da primetimo da nam ovo [inlmath]x+y^2[/inlmath] malo smeta, sto mozemo premostiti ako namestimo da [inlmath]\frac{\partial w}{\partial y}[/inlmath] nestane, tj. da je [inlmath]w=x[/inlmath] (a i potajno se nadamo da ce se tada ostatak jednacine lepo srediti). Zaista, u tom slucaju dobijamo [inlmath]\displaystyle\frac{d \lambda}{\lambda} = - \frac{2 \,dx}{x}[/inlmath], sto je diferencijalna jednacina koja razdvaja promenljive koju lako resavamo po [inlmath]\lambda[/inlmath].

Pokusaj sam za drugu jednacinu.

U praksi, ili je [inlmath]w(x,y)=x[/inlmath] ili je [inlmath]w(x,y)=y[/inlmath], ili se u tekstu zadatka da koliko je [inlmath]w[/inlmath] (npr. [inlmath]w(x,y)=x^2+y^2[/inlmath]). [moze se desiti i da vam ne daju oblik od [inlmath]w[/inlmath], a da nije jedan od ova prva dva slucaja, no tada je potrebno malo vise vestine]

Inace, zeleo si da kazes [inlmath]\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}[/inlmath], tj. da koristis [inlmath]\partial[/inlmath] umesto [inlmath]d[/inlmath].

A postoji li šansa da se prepstavi da li je [inlmath]\lambda=\lambda(x)[/inlmath] ili [inlmath]\lambda=\lambda(y)[/inlmath] bez računanja prvog izraza tj. od čega konkretno zavisi.

Pa ako bismo imali situaciju da je [inlmath]w=x[/inlmath], onda bismo imali i [inlmath]\displaystyle \frac{d \lambda}{\lambda} = - \frac{1}{Q(x,y)} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\, dx[/inlmath], te mozemo zakljuciti da ako [inlmath]\displaystyle \frac{1}{Q(x,y)} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)[/inlmath] zavisi samo od [inlmath]x[/inlmath] da onda sigurno sve prolazi.

Slicno bismo dobili da ako [inlmath]\displaystyle \frac{1}{P(x,y)} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)[/inlmath] zavisi samo od [inlmath]y[/inlmath] da onda mozemo uzeti [inlmath]w=y[/inlmath].