MATEMANIJA

Trebam riješiti diferencijalnu jednačinu [inlmath]\displaystyle\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=x^2+5x[/inlmath] ako je početna vrijednost [inlmath]x(0)=-3[/inlmath].
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^2+5x}=\int\mathrm dt[/dispmath]
Na Wolfram Alpha sam izračunala vrijednost [inlmath]x(t)[/inlmath] tako da je [inlmath]\displaystyle x(t)=-\frac{5e^{5c+5t}}{e^{5c+5t}-1}[/inlmath].

Zatim vrijednost konstante je [inlmath]\displaystyle\ln\frac{-3}{2}[/inlmath].

Tako da na kraju kada uvrstim i [inlmath]C[/inlmath] u ovaj [inlmath]x(t)[/inlmath] koji sam dobila dobivam [inlmath]\displaystyle x(t)=-\frac{5e^{\ln\frac{-3}{2}+5t}}{e^{\ln\frac{-3}{2}+5t}-1}[/inlmath].

Međutim ovo nije tačno rješenje, sistem mi govori da nije tačno, da li ja negdje griješim ili?

etgirl je napisao:sistem mi govori da nije tačno,

Sistem te ne laže...
Čim si dobila da je vrednost konstante [inlmath]\displaystyle\ln\frac{-3}{2}[/inlmath], odmah si mogla videti da tu nešto nije u redu, jer numerus logaritma ne sme biti negativan broj.

Kod ovog međurezultata,

etgirl je napisao:[inlmath]\displaystyle x(t)=-\frac{5e^{5c+5t}}{e^{5c+5t}-1}[/inlmath].

fali ti znak [inlmath]\pm[/inlmath]. On se dobije kao posledica toga što nam je numerus logaritma bio unutar apsolutne vrednosti. Tako da taj deo treba da glasi
[dispmath]x(t)=\frac{\pm5e^{5c+5t}}{1\mp e^{5c+5t}}[/dispmath]
Sad uoči da [inlmath]\pm e^{5c+5t}[/inlmath] možeš zapisati kao [inlmath]\pm e^{5c}\cdot e^{5t}[/inlmath], gde je [inlmath]\pm e^{5c}=C[/inlmath] neka nova konstanta (koja zbog [inlmath]\pm[/inlmath] može biti i pozitivna i negativna), tako da se taj izraz svodi na
[dispmath]x(t)=\frac{5Ce^{5t}}{1-Ce^{5t}}[/dispmath]
Preostalo je da odrediš vrednost [inlmath]C[/inlmath] i da tu vrednost uvrstiš, a to pretpostavljam da nije problem...

Sad dobijam da je [inlmath]C=-\frac{3}{2}[/inlmath].


Rješenje je:
[dispmath]x(t)=\frac{\frac{-15}{2}e^{5t}}{1+\frac{3}{2}e^{5t}}[/dispmath]
Da li je sad ovo dobro?

Sad je dobro, s tim što ti rekoh da možeš brojilac i imenilac da pomnožiš dvojkom. Zar nije lepše ovako:
[dispmath]x(t)=\frac{-15e^{5t}}{2+3e^{5t}}[/dispmath]

Rešenje možeš i sama da proveriš, tako što ga uvrstiš u početnu diferencijalnu jednačinu, kao i u početni uslov.

Uvrštavanje u početnu diferencijalnu jednačinu:
[dispmath]\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=x^2+5x\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{-15e^{5t}}{2+3e^{5t}}=\left(\frac{-15e^{5t}}{2+3e^{5t}}\right)^2+5\cdot\frac{-15e^{5t}}{2+3e^{5t}}\\
\vdots[/dispmath]
i proveravaš da li je jednakost zadovoljena (pokazaće se da jeste).

Uvrštavanje u početni uslov:
[dispmath]x(0)=\frac{-15e^{5\cdot0}}{2+3e^{5\cdot0}}=\frac{-15}{2+3}=-3[/dispmath]
Znači, i početni uslov je zadovoljen.

---

Obrati pažnju na Latex. Kad neki izraz želiš da staviš u eksponent, onda treba da ga uokviriš vitičastim (a ne oblim) zagradama.
Znači, ne e^(5t) – to se prikazuje ovako: [inlmath]e^(5t)[/inlmath]
već e^{5t} – to se prikazuje ovako: [inlmath]e^{5t}[/inlmath]