MATEMANIJA

Pozdrav imam jednu jednacinu koju nikako ne uspevam resiti:
[dispmath]2\cdot y'\cdot\ln{x}+\frac{y}{x}=\frac{\cos{x}}{y}[/dispmath] Radio sam je kao jednacinu totalnog diferencijala ali nmg nikako da izrazim [inlmath]y[/inlmath]. Pozdrav

Pomnoži levu i desnu stranu sa [inlmath]y[/inlmath], zatim grupiši [inlmath]2yy'[/inlmath] kao [inlmath]\left(y^2\right)'[/inlmath]. Pogodna smena ti se onda sama nameće.
Nakon što uvedeš smenu, pogledaj ovaj tutorijal, stavka „Linearna jednačina“.

Kako mogu [inlmath]2yy'[/inlmath] da napisem kao [inlmath]\left(y^2\right)'[/inlmath]? Mozda bolje pitanje zasto mogu to tako tako da napisem?

Kada uvedem smenu [inlmath]y^2=t[/inlmath] i radim kao linearnu, preko metoda varijacije konstanti nmg nikako da izrazim [inlmath]C[/inlmath] posto jedno ostane pod [inlmath]\ln[/inlmath]-om a drugo izadje van.

Batonja je napisao:Kako mogu [inlmath]2yy'[/inlmath] da napisem kao [inlmath]\left(y^2\right)'[/inlmath]? Mozda bolje pitanje zasto mogu to tako tako da napisem?

[inlmath]\left(y^2\right)'[/inlmath] ti je izvod složene funkcije. Pošto je [inlmath]y=f(x)[/inlmath], ako posmatramo funkciju [inlmath]g(x)=x^2[/inlmath], tada je [inlmath]y^2=g(y)[/inlmath], tj. [inlmath]y^2=g\bigl(f(x)\bigr)[/inlmath], tj. [inlmath]y^2=g\circ f(x)[/inlmath], a izvod složene funkcije znaš kako se radi...

A možeš to posmatrati i ovako:
[dispmath]\left(y^2\right)'=\frac{\partial\left(y^2\right)}{\partial x}=\underbrace{\frac{\partial\left(y^2\right)}{\partial y}}_{2y}\cdot\underbrace{\frac{\partial y}{\partial x}}_{y'}[/dispmath]

Batonja je napisao:Kada uvedem smenu [inlmath]y^2=t[/inlmath] i radim kao linearnu, preko metoda varijacije konstanti nmg nikako da izrazim [inlmath]C[/inlmath] posto jedno ostane pod [inlmath]\ln[/inlmath]-om a drugo izadje van.

Meni se nikakvo [inlmath]C[/inlmath] ne pojavljuje pod [inlmath]\ln[/inlmath]-om. Možeš li napisati to što si dobio?

Mogu naravno zapetljam se sa dvostrukim [inlmath]\ln[/inlmath]-om
[dispmath]\left(y^2\right)'\cdot\ln{x}+\frac{y^2}{x}=\cos{x}[/dispmath] prvo uvodim smenu i [inlmath]y^2=t[/inlmath] i delim sve sa [inlmath]\ln{x}[/inlmath] da dobijem linearnu
[dispmath]t'+\frac{t}{x\cdot\ln{x}}=\frac{\cos{x}}{\ln{x}}[/dispmath] dobio sam linearnu i resavam metodom varijacije konstanti, prvo resavam homogenu
[dispmath]t'+\frac{t}{x\cdot\ln{x}}=0\\
\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=-\frac{t}{x\cdot\ln{x}}[/dispmath] odavde dobijam
[dispmath]\ln{t}=-\ln|\ln{x}|+\ln|\ln{c}|\\
t=-\ln{x}+\ln{c}\\
t=\ln{\frac{c}{x}}\\
t'=-\frac{1}{x}+\frac{c'}{c}[/dispmath] sad to [inlmath]t[/inlmath] i njegov izvod uvrstavam gore
[dispmath]-\frac{1}{x}+\frac{c'}{c}+\frac{\ln\frac{c}{x}}{x\cdot\ln{x}}=\frac{\cos{x}}{\ln{x}}[/dispmath] Kao sto vidis jedan [inlmath]c[/inlmath] mi je ostao pod [inlmath]\ln[/inlmath]-om dok je ovaj drugi izasao zbog izvoda [inlmath]t[/inlmath] po [inlmath]x[/inlmath]. Unapred zahvalan

Equation-tagovi su ti zgodniji kad treba Latex-formule da napišeš u zasebnim redovima, izdvojeno od teksta. Onako, s inlinemath-tagovima, sve je bilo nekako previše sitno.

Greška ti je u ovom koraku:

Batonja je napisao:[dispmath]\ln{t}=-\ln|\ln{x}|+\ln|\ln{c}|\\
t=-\ln{x}+\ln{c}[/dispmath]

Zapravo, iz [inlmath]\ln t=-\ln|\ln x|+\ln|\ln c|[/inlmath] sledi
[dispmath]\ln t=\ln\frac{|\ln c|}{|\ln x|}\\
t=\left|\frac{c}{\ln x}\right|[/dispmath] BTW mogao si i odmah u koraku [inlmath]\ln t=-\ln|\ln x|+\ln|\ln c|[/inlmath] da [inlmath]\ln|\ln c|[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\ln|c|[/inlmath] (gde je [inlmath]c[/inlmath] sad neka nova konstanta umesto konstante [inlmath]\ln c[/inlmath]), pa bi odatle odmah dobio [inlmath]\ln t=\ln\frac{|c|}{|\ln x|}[/inlmath].