MATEMANIJA

Da li biste mogli da mi pomognete da rešim sledeću diferencijalnu jednacinu:
[dispmath]\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}[/dispmath]

Budući da u jednačini figurišu samo [inlmath]y''[/inlmath] i [inlmath]y'[/inlmath], ovo možeš svesti na diferencijalnu jednačinu prvog reda smenom [inlmath]y'=z[/inlmath]. To bi trebalo da ti dâ neku početnu ideju.

Ubuduće, molim te, tačka 6. Pravilnika.

Da, to je upravo ono što sam uradio, ali kada dodjem do dela kada je potrebno vratiti smenu, tu zastanem. Dakle, do sledeće jednakosti sam došao:
[dispmath]z=\frac{\text{arcsinh}(z)+z\sqrt{z^2+1}}{2}+C[/dispmath]

Nije ti tu nešto dobro. Bi li pokazao kako si dotle došao?

Evo kako sam radio, mada nisam siguran da je sve tacno:
[dispmath]z'=\sqrt{1+z^2},[/dispmath] nakon integraljenja
[dispmath]z=\int\sqrt{1+z^2}\,\mathrm dz[/dispmath] uvodjenje smene
[dispmath]z=\sinh(u);\;u=\text{arcsinh}(z);\;\mathrm dz=\cosh(u)\,\mathrm du\\
z=\int\sqrt{1+\sinh^2(u)}\cosh(u)\,\mathrm du\\
z=\int\cosh^2(u)\,\mathrm du,[/dispmath] redukciona formula
[dispmath]z=\int\frac{1}{2}\,\mathrm du+\frac{\cosh(u)\sinh(u)}{2}\\
z=\frac{\text{arcsinh}(z)}{2}+\frac{\cosh\bigl(\text{arcsinh}(z)\bigr)\sinh\bigl(\text{arcsinh}(z)\bigr)}{2}\\
z=\frac{\text{arcsinh}(z)}{2}+\frac{z\sqrt{z^2+1}}{2}[/dispmath] Ni meni ne deluje da je to dobro ... ako mozete ukazite mi gde pravim gresku.

Greška ti je u samom startu:

filiplukic036 je napisao:nakon integraljenja
[dispmath]z=\int\sqrt{1+z^2}\,\mathrm d{\color{red}z}[/dispmath]

Naime, pošto krećeš od [inlmath]z'=\sqrt{1+z^2}[/inlmath], to je zapravo isto što i
[dispmath]\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=\sqrt{1+z^2}[/dispmath] pa onda, kad [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] pređe na desnu stranu i kad se integrali, dobije se
[dispmath]\int\sqrt{1+z^2}\,\mathrm d{\color{red}x}[/dispmath] Dakle, ne [inlmath]\mathrm dz[/inlmath], već [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. Samim tim, ne mogu se uvoditi smene koje si ti uveo.

---

Ovde se može vrlo jednostavno uočiti da, ako je [inlmath]z(x)=\sinh x[/inlmath] (izraz [inlmath]\sqrt{1+z^2}[/inlmath] nekako nas „vuče“ na to), tada će leva strana jednačine [inlmath]z'=\sqrt{1+z^2}[/inlmath] biti jednaka [inlmath]\cosh x[/inlmath], a i desna strana jednačine će biti jednaka [inlmath]\cosh x[/inlmath], tj. obe strane će biti jednake, tj. jednačina će biti zadovoljena...