MATEMANIJA

Dobar dan, opet ja sa diferencijalnim jednačinama
Kod ovog zadatka me zanima kako da počnem računanje za partikularno rešenje, homogeno mi nije problem
[dispmath]y''-y'-2y=e^{2x}\cos^2x[/dispmath] Za homogeno dobijem:
[dispmath]y_H=c_1e^{-2x}+c_2e^x[/dispmath] Kod partikularnog sam probao da uzmem da je
[dispmath]y=\left(A\sin^2x+B\cos^2x\right)e^{2x}\\
y'=(2A\sin x\cos x+2B\sin x\cos x)e^{2x}+\left(A\sin^2x+B\cos^2x\right)2e^{2x}\\
y''=2e^{2x}\left(2A\sin x\cos x-2B\sin x\cos x+A\sin^2x+B\cos^2x\right)[/dispmath] (ovo sam dobio kad sam sredio izvod)

I ne znam dalje, uvrštanjem dobijenog nazad u jednačinu iskomplikujem previše zadatak i ne znam kako da dobijem [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath].

Homogeno rješenje bi trebalo da bude [inlmath]y_H=c_1e^{2x}+c_2e^{-x}[/inlmath].
Uzmi da je [inlmath]\cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos2x)[/inlmath], tako da bi partikularno rješenje trebalo da bude oblika:
[dispmath]y_p(x)=Axe^{2x}+Be^{2x}\cos2x+Ce^{2x}\sin2x.\\
y'_p=2C\mathrm{e}^{2x}\sin2x-2B\mathrm{e}^{2x}\sin2x+2C\mathrm{e}^{2x}\cos2x+2B\mathrm{e}^{2x}\cos2x+2Ax\mathrm{e}^{2x}+A\mathrm{e}^{2x}\\
y''_p=\mathrm{e}^{2x}\left(-2\left(2C+2B\right)\sin2x+2\left(2C-2B\right)\cos2x+2A\right)+2\mathrm{e}^{2x}\left(\left(2C-2B\right)\sin2x+\left(2C+2B\right)\cos2x+2Ax+A\right)[/dispmath] Trebalo bi da su rješenja:
[dispmath]A=\frac{1}{6},\quad B=-\frac{1}{26},\quad C=\frac{3}{52}.[/dispmath]

Hvala na odgovoru, imam samo jedno pitanje

Srdjan01 je napisao:[dispmath]y_p(x)=Axe^{2x}+Be^{2x}\cos2x+Ce^{2x}\sin2x.[/dispmath]

Zašto je oblik partikularnog rešenja takav? Jer koliko znam po ovome gledamo koliko iznosi [inlmath]n[/inlmath] da bi dobili oblik koji nam treba, kako tražimo [inlmath]n[/inlmath] ako imamo sinus ili kosinus u zadatku?

Prvo odredi rešenja karakteristične jednačine a zatim odredi partikularna rešenja [inlmath]y_{p_1}[/inlmath] i [inlmath]y_{p_2}[/inlmath] diferencijalnih jednačina: [inlmath]y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}[/inlmath] i [inlmath]y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos2x[/inlmath]. Na osnovu principa superpozicije partikularno rešenje polazne diferencijalne jednačine [inlmath]y_p[/inlmath] jednako je zbiru [inlmath]y_{p_1}+y_{p_2}[/inlmath].