MATEMANIJA

Zdravo, svima! Zanima me da li bi neko mogao da me posavetuje kako da izračunam singularno rešenje diferencijalnih jednačina prvog reda? Na primer, ukoliko su date sledeće diferencijalne jednačine:
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-2y=0,\\
\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=xy[/dispmath] da li bi umesto [inlmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}[/inlmath] trebalo da napišem [inlmath]0[/inlmath], i zatim pronađem vrednost za [inlmath]y[/inlmath]? Ukoliko je to slučaj, šta bi bila vrednost [inlmath]y[/inlmath] u drugoj jednačini?

Hvala!!

Nema svaka diferencijalna jednačina singularno rešenje. Generalno, singularno rešenje se dobija tako što prvo odredimo opšte rešenje diferencijalne jednačine, a zatim nađemo prvi parcijalni izvod po [inlmath]C[/inlmath] funkcije koju smo dobili kao opšte rešenje, gde je [inlmath]C[/inlmath] konstanta iz opšteg rešenja koju sad posmatramo kao promenljivu. Zatim se taj izvod izjednači sa [inlmath]0[/inlmath] i izrazi se [inlmath]C[/inlmath] u funkciji od [inlmath]x[/inlmath]. Tako izraženo [inlmath]C[/inlmath] se potom uvrsti u opšte rešenje diferencijalne jednačine.

Primer: Naći singularno rešenje diferencijalne jednačine [inlmath]y'=2\sqrt{y-x}+1[/inlmath], [inlmath]y-x\ge0[/inlmath]

Opšte rešenje ove diferencijalne jednačine je [inlmath]y=(x+C)^2+x[/inlmath]. Parcijalni izvod po [inlmath]C[/inlmath] je: [inlmath]y_C'=2(x+C)[/inlmath]. Dakle iz [inlmath]y_C'=0[/inlmath] određujemo da je [inlmath]C=-x[/inlmath]. Kad uvrstimo ovo [inlmath]C[/inlmath] u opšte rešenje dobijamo singularno rešenje diferencijalne jednačine: [inlmath]y=x[/inlmath].