MATEMANIJA

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe [dispmath]y'x^3=2y[/dispmath]
Ako je po pravilu [inlmath]y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}[/inlmath] onda
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}x^3=2y[/dispmath]
sada sve [inlmath]x[/inlmath]-eve treba na jednu, a ipsilone na drugu stranu, a to napravim tako da cijelu jednadžbu podijelim s [inlmath]2y[/inlmath] i [inlmath]x^3[/inlmath] pa imam
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{2y}=\frac{\mathrm dx}{x^3}[/dispmath]
sada je ispunjen preduvjet za integriranje:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dy}{y}=\int\frac{\mathrm dx}{x^3}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{2}\ln|y|=-\frac{1}{2x^2}+C\;/\cdot 2[/dispmath][dispmath]\ln y=\ln e^{-\frac{1}{x^2}}+{\color{red}\ln}\,c[/dispmath][dispmath]\ln y=\ln e^{-\frac{1}{x^2}}c[/dispmath]
i konačno
[dispmath]y=c\,e^{-\frac{1}{x^2}}[/dispmath]
Nije mi jasno ovo označeno crvenom bojom. Kako se tu uopće pojavio [inlmath]\ln[/inlmath]. I zašto baš u tom koraku?

[inlmath]C[/inlmath] je neka neodređena konstanta. Ako uvedemo novu konstantu [inlmath]c[/inlmath] takvu da je [inlmath]c=e^C[/inlmath], tada umesto konstante [inlmath]C[/inlmath] možemo pisati [inlmath]\ln c[/inlmath].
A zašto baš u tom koraku – zato što na levoj strani jednačine imamo logaritam, a cilj nam je da ga se oslobodimo. Oslobodićemo ga se tako što i desnu stranu izrazimo preko logaritma, pa onda izjednačimo argumente tih logaritama. E, da bismo i desnu stranu izrazili preko logaritma, potrebno je da i tu konstantu izrazimo kao logaritam neke druge konstante...