MATEMANIJA

[dispmath]\frac{\mathrm d^3x}{\mathrm dt^3}-3x^2\cdot\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=0[/dispmath] Zavisna promenljiva nam je ovde [inlmath]x[/inlmath], a nezavisna [inlmath]t[/inlmath]
U rešenju piše da ova jednačina nije linearna, ali mi nije jasno zbog čega, jer uz [inlmath]\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}[/inlmath] stoji nezavisna promenljiva. Kada bi stajalo npr [inlmath]3x^2\cdot t\cdot\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}[/inlmath].

Za poređenje bih uzeo primer [inlmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}+y=x^2[/inlmath]
Ovde je tačno prethodno tvrđenje - uz [inlmath]y[/inlmath] (koje je zavisna prom.) ne stoji nezavisna prom ([inlmath]x[/inlmath]) pa je samim tim linearna.

Zanima me još jedan slučaj - [inlmath]\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}-3p=0[/inlmath]
Po teoriji, da bi ova jednačina bila linearna, mora da bude oblika: [inlmath]y'+f(x)y=g(x)[/inlmath], ali šta bi to na praktičnom primeru značilo? Da li se kod [inlmath]g(x)[/inlmath] misli neki random izraz tipa neki polinom ili slično pa je onda linearna?
Ovde konkretno nije linearna (pretpostavljam da je to iz razloga što je sa desne strane samo [inlmath]0[/inlmath]).

Diferencijalna jednačina sa zavisnom promenljivom [inlmath]x[/inlmath] i nezavisnom [inlmath]t[/inlmath] je linearna, ako se može prikazati kao
[dispmath]a_0(t)x + a_1(t)x' + a_2(t)x'' \cdots + a_n(t)x^{(n)} = b(t)[/dispmath]
gde su [inlmath]a_0,\dots,a_n,b[/inlmath] proizvoljne glatke funkcije po [inlmath]t[/inlmath].

Acim je napisao:[dispmath]\frac{\mathrm d^3x}{\mathrm dt^3}-3x^2\cdot\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=0[/dispmath] Zavisna promenljiva nam je ovde [inlmath]x[/inlmath], a nezavisna [inlmath]t[/inlmath]
U rešenju piše da ova jednačina nije linearna, ali mi nije jasno zbog čega, jer uz [inlmath]\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}[/inlmath] stoji nezavisna promenljiva. Kada bi stajalo npr [inlmath]3x^2\cdot t\cdot\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}[/inlmath].

Uz drugi izvod stoji funkcija od zavisne promenljive [inlmath]x[/inlmath] (to je funkcija [inlmath]x \mapsto 3x^2[/inlmath]), a neophodno je da stoji funkcija koja zavisi samo od nezavisne promenljive.

Acim je napisao:Za poređenje bih uzeo primer [inlmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}+y=x^2[/inlmath]
Ovde je tačno prethodno tvrđenje - uz [inlmath]y[/inlmath] (koje je zavisna prom.) ne stoji nezavisna prom ([inlmath]x[/inlmath]) pa je samim tim linearna.

Pomešao si stvari. Uz bilo koji izvod može da stoji funkcija od nezavisne promenljive. I jednačina [inlmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}+xy=x^2[/inlmath] je linearna.

Acim je napisao:Zanima me još jedan slučaj - [inlmath]\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}-3p=0[/inlmath]
Po teoriji, da bi ova jednačina bila linearna, mora da bude oblika: [inlmath]y'+f(x)y=g(x)[/inlmath], ali šta bi to na praktičnom primeru značilo? Da li se kod [inlmath]g(x)[/inlmath] misli neki random izraz tipa neki polinom ili slično pa je onda linearna?
Ovde konkretno nije linearna (pretpostavljam da je to iz razloga što je sa desne strane samo [inlmath]0[/inlmath]).

Navedena jednačina jeste linearna. [inlmath]g[/inlmath] je proizvoljna glatka funkcija koja zavisi samo od nezavisne promenljive. Takva je i funkcija [inlmath]x\mapsto 0[/inlmath]