MATEMANIJA

Za datu diferencijalnu jednačinu odredi koja je zavisna a koja nezavisna promenljiva. Odredi red svake diferencijalne jednačine i napisati da li je (ne)homogena i (ne)linearna.
[dispmath]\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2+3\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x^2[/dispmath] Kod ove jednačine me buni kako da je zapišem u onom obliku tipa [inlmath]y'',\:y'[/inlmath]. Pretpostavljam da je [inlmath]\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2\ne y''[/inlmath], samim tim to povlači i pitanje kako da odredim red ove jednačine u ovom slučaju.

[inlmath]\frac{dy}{dx}=y^{'}[/inlmath] pa je [inlmath]\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=\left(y^{'}\right)^{2}[/inlmath]
Diferencijalna jednačina je prvog reda, nelinearna i nehomogena.

Acim je napisao:Pretpostavljam da je [inlmath]\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2\ne y''[/inlmath],

Pretpostavka ti je dobra, [inlmath]\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2[/inlmath] je [inlmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}[/inlmath], dok je [inlmath]\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)=y''[/inlmath].
Da ove dve stvari nisu iste lako se možeš uveriti i na nekom primeru. Recimo da je [inlmath]y=x^2[/inlmath]. Tada je [inlmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=2x[/inlmath], pa je
[dispmath]\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2=\left(2x\right)^2=4x^2\\
\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(2x)=2[/dispmath]

Acim je napisao:samim tim to povlači i pitanje kako da odredim red ove jednačine u ovom slučaju.

Po definiciji, diferencijalna jednačina [inlmath]n[/inlmath]-tog reda je jednačina oblika
[dispmath]f\bigl(x,y(x),y'(x),y''(x),\ldots,y^{(n)}(x)\bigr)=0[/dispmath] Uvrštavanjem [inlmath]n=1[/inlmath], taj oblik postaje
[dispmath]f\bigl(x,y(x),y'(x)\bigr)=0[/dispmath] a to je upravo oblik koji odgovara ovoj tvojoj jednačini, jer je najviši izvod koji u njoj figuriše – prvi izvod.

Sve sam shvatio, samo mi još nije najjasnije zbog čega je nelinearna?

Zato što se ne uklapa u oblik [inlmath]y'(x)+P(x)y(x)=Q(x)[/inlmath].