MATEMANIJA

[dispmath]yy'+x^3-\frac{y^2}{x}=0[/dispmath] Tačno rešenje: [inlmath]y=x\sqrt{-x^2+c_1}[/inlmath], [inlmath]y=-x\sqrt{-x^2+c_1}[/inlmath]

Prvo sam podelio sve sa [inlmath]y[/inlmath] i dobio: [inlmath]y'+\frac{x^3}{y}-\frac{y}{x}=0[/inlmath] i onda: [inlmath]y'-\frac{y}{x}=-x^3y^{-1}[/inlmath].
Onda sam sve podelio sa [inlmath]y^{-1}[/inlmath]:
[dispmath]y'y-\frac{1}{x}y^2=-x^3[/dispmath] Odavde sam uveo smenu: [inlmath]z=y^2[/inlmath], [inlmath]z'=2y\cdot y'[/inlmath], [inlmath]yy'=\frac{z'}{2}[/inlmath] i odatle dobijam:
[dispmath]\frac{z'}{2}-\frac{1}{x}z=-x^3[/dispmath] Potom sam pomnožio sve sa [inlmath]2[/inlmath], odakle imamo: [inlmath]z'-\frac{2}{x}z=-2x^3[/inlmath].
Sada se ova j-na svodi na linearnu, gde je [inlmath]z=uv[/inlmath], [inlmath]z'=u'v+uv'[/inlmath]
[dispmath]u'v+u\left(v'-\frac{2}{x}v\right)=-2x^3[/dispmath] Rešavam deo u zagradi:
[dispmath]v'-\frac{2}{x}v=0[/dispmath] gde dobijam da mi je [inlmath]v=2x[/inlmath], a [inlmath]u'2x=-2x^3[/inlmath], [inlmath]u=-\frac{x^3}{3}+C[/inlmath].
Kako nam je [inlmath]z=uv[/inlmath], dobijam da mi je [inlmath]z=-\frac{2x^4}{3}+2Cx[/inlmath]

Sad, kako sam na početku postavio da mi je [inlmath]z=y^2[/inlmath], samo [inlmath]y=\sqrt{-\frac{2x^4}{3}+2Cx}[/inlmath], [inlmath]y=-\sqrt{-\frac{2x^4}{3}+2Cx}[/inlmath], međutim, to se ne poklapa sa početnim rešenjem, a još uvek ne uviđam gde sam propust napravio.

Acim je napisao:Onda sam sve podelio sa [inlmath]y^{-1}[/inlmath]:
[dispmath]y'y-\frac{1}{x}y^2=-x^3[/dispmath]

Ako uporediš ovu jednačinu s onom početnom, uočićeš da su iste – što i nije nikakvo čudo budući da si prvo delio sa [inlmath]y[/inlmath], nakon čega si delio sa [inlmath]y^{-1}[/inlmath], čime si samo „obrnuo krug“. Tako da ova prva dva koraka komotno možeš da izostaviš.

Acim je napisao:[dispmath]v'-\frac{2}{x}v=0[/dispmath] gde dobijam da mi je [inlmath]v=2x[/inlmath],

Iz [inlmath]v'-\frac{2}{x}v=0[/inlmath] se ne dobija [inlmath]v=2x[/inlmath], što si i sâm mogao proveriti, uvrštavanjem dobijenog rešenja umesto [inlmath]v[/inlmath]:
[dispmath](2x)'-\frac{2}{\cancel x}2\cancel x=2-4=-2\ne0[/dispmath]

Da li je trebalo ovako?
[inlmath]\ln|v|=2\ln|x|[/inlmath], [inlmath]\ln|v|=\ln|x|^2[/inlmath], [inlmath]v=x^2[/inlmath] i onda za [inlmath]u[/inlmath] dobijam da mi je [inlmath]-x^2[/inlmath]. Znači, [inlmath]u\cdot v=-x^4[/inlmath], što mi se opet ne poklapa sa ispravnim rešenjem (posle kada izražavam [inlmath]y[/inlmath]).

Acim je napisao:[inlmath]\ln|v|=2\ln|x|[/inlmath]

Ovde si zaboravio integracionu konstantu.

Acim je napisao:[inlmath]\ln|v|=\ln|x|^2[/inlmath], [inlmath]v=x^2[/inlmath]

Iz [inlmath]\ln|v|=\ln|x|^2[/inlmath] ne sledi [inlmath]v=x^2[/inlmath] nego sledi [inlmath]|v|=|x|^2[/inlmath], a odatle [inlmath]v=\pm x^2[/inlmath] (mada će se taj [inlmath]\pm[/inlmath] ionako „utopiti“ u integracionu konstantu, nakon što je budeš dodao).