MATEMANIJA

Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine [inlmath]y'(x+1)=y\ln y[/inlmath] kao i partikularno koje zadovoljava uslov [inlmath]y(0)=e^2[/inlmath].

Sređivanjem diferencijalne j-ne dolazim do oblika: [inlmath]\int\!\frac{\mathrm dy}{y\ln y}=\int\!\frac{\mathrm dx}{x+1}[/inlmath], čijim rešavanjem dobijam:
[dispmath]\ln|\ln y|=\ln|x+1|+C[/dispmath] E sad, pretpostavljam da sam ovde napravio grešku, ali sam bio pokratio [inlmath]\ln[/inlmath] i [inlmath]\ln[/inlmath] (mislim da to nisam smeo zbog ovog [inlmath]+C[/inlmath]) i dobio:
[dispmath]y=e^{x+1+C}[/dispmath] Sad, ubacivanjem iz vrednosti iz uslova dobijam: [inlmath]e^2=e^{2+C}[/inlmath] i sad ne znam kako bih dalje trebao.

Acim je napisao:[dispmath]\ln|\ln y|=\ln|x+1|+C[/dispmath] E sad, pretpostavljam da sam ovde napravio grešku, ali sam bio pokratio [inlmath]\ln[/inlmath] i [inlmath]\ln[/inlmath] (mislim da to nisam smeo zbog ovog [inlmath]+C[/inlmath]) i dobio:

Da, tu je greška. Da bi logaritmi mogli da se pokrate, logaritmi treba da obuhvataju celu levu i celu desnu stranu, a to ovde nije slučaj, jer na desnoj strani imaš [inlmath]+C[/inlmath] izvan logaritma. Ali, to se može srediti, tako što se [inlmath]+C[/inlmath] napiše kao [inlmath]+\ln e^C[/inlmath], pri čemu je [inlmath]e^C[/inlmath] neka nova konstanta, obeležimo je sa [inlmath]C_1[/inlmath] ([inlmath]C_1>0[/inlmath] jer je [inlmath]e^C>0[/inlmath]):
[dispmath]\ln|\ln y|=\ln|x+1|+\ln C_1[/dispmath] Naravno, pošto je sama oznaka konstante nebitna, možemo ovu konstantu [inlmath]C_1[/inlmath] napisati jednostavno kao [inlmath]C[/inlmath]:
[dispmath]\ln|\ln y|=\ln|x+1|+\ln C\\
\ln|\ln y|=\ln|C(x+1)|[/dispmath] i tek sad možeš kratiti logaritam na levoj i logaritam na desnoj strani...

Acim je napisao:[dispmath]y=e^{x+1+C}[/dispmath] Sad, ubacivanjem iz vrednosti iz uslova dobijam: [inlmath]e^2=e^{2+C}[/inlmath] i sad ne znam kako bih dalje trebao.

Čak i ako bismo pretpostavili da je [inlmath]y=e^{x+1+C}[/inlmath] tačno, opet se odatle ne bi moglo dobiti [inlmath]e^2=e^{2+C}[/inlmath]. Jer, iz uslova [inlmath]y(0)=e^2[/inlmath] imali bismo [inlmath]e^2=e^{0+1+C}[/inlmath], a ne [inlmath]e^2=e^{2+C}[/inlmath].

Ne sviđa mi se formulacija "kratiti logaritam". Ukoliko se skrati slovo n u onom starom matematičkom vicu dobije se [inlmath]\frac{si\cancel nx}{\cancel n}=six=6[/inlmath]
A kako je prethodno rečeno, ispada da kratite slova "ln" i "ln". Dalje:

Acim je napisao:[inlmath]\int\!\frac{\mathrm dy}{y\ln y}=\int\!\frac{\mathrm dx}{x+1}[/inlmath], čijim rešavanjem dobijam:
[dispmath]\ln|\ln y|=\ln|x+1|+C[/dispmath]

Ovde nikakva greška nije napravljena.
Naime:
[dispmath]\ln|\ln y|=\ln|x+1|+C[/dispmath] Antilogaritmovanjem:
[dispmath]e^{\ln|\ln y|}=e^{\ln|x+1|+C}[/dispmath][dispmath]|\ln y|=|x+1|e^C[/dispmath][dispmath]|\ln y|=|x+1||C_1|[/dispmath] Način sa logaritmom konstante, koji je predložio @Daniel je naravno takođe tačan, no koji način izabrati je stvar ukusa.