MATEMANIJA

Riješiti sustav diferencijalnih jednadžbi
[dispmath]\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=x+y+2e^t\\
\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=4x+y-e^t[/dispmath]
Cilj mi je iz jedne jednadžbe izraziti [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath], djelovati na to sa [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[/inlmath], uvrstiti u drugu jednadžbu i dalje rješavati uglavnom šablonski, da bi na kraju dobio [inlmath]y(t)[/inlmath] i [inlmath]x(t)[/inlmath].
U ovom zadatku odlučio sam iz prve jednadžbe izraziti [inlmath]y[/inlmath], pa imam
[inlmath]y=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}-x-2e^t[/inlmath]
Sada na to djelujem sa [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[/inlmath], ali mi nije sasvim jasno što će se dogoditi kod zadnjeg člana ([inlmath]-2e^t[/inlmath]). Bez toga imam
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}-\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}-?[/dispmath]

Ako je [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}e^x=e^x[/inlmath], tada je [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(-2e^x\right)=-2\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}e^x=-2e^x[/inlmath], pa je, isto tako samo drugačijim oznakama napisano, [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(-2e^t\right)=-2e^t[/inlmath].

Znači obična derivacija, ništa drugo

Rješenje ovog zadatka je
[dispmath]x(t)=c_1e^{3t}+c_2e^{-t}+\frac{1}{4}e^t\\
y(t)=2c_1e^{3t}-2c_2e^{-t}-2e^t[/dispmath]

Jeste, tako i ja dobijem. A uvek to možeš i proveriti uvrštavanjem rešenja u zadate jednačine:
[dispmath]\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=x+y+2e^t[/dispmath][dispmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(c_1e^{3t}+c_2e^{-t}+\frac{1}{4}e^t\right)=\left(c_1 e^{3t}+c_2 e^{-t}+\frac{1}{4}e^t\right)+\left(2c_1e^{3t}-2c_2e^{-t}-2e^t\right)+2e^t[/dispmath][dispmath]3c_1e^{3t}-c_2e^{-t}+\frac{1}{4}e^t=3c_1e^{3t}-c_2e^{-t}+\frac{1}{4}e^t[/dispmath]
I za drugu jednačinu, [inlmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=4x+y-e^t[/inlmath], dobije se poklapanje (to prepuštam tebi ), tako da je rezultat tačan.

Imam jednu nejasnoću, ako je [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[/inlmath] "obična" derivacija (jel to točno?), zbog čega onda u prethodnom zadatku nije
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}-1-2e^t[/dispmath]
(odnosi se na zadnji redak prvog posta na stranici)

Što bi se na primjer dogodilo da imam [inlmath]3\ln^2x[/inlmath] i da na njega moram djelovati sa [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[/inlmath] ?

eseper je napisao:Imam jednu nejasnoću, ako je [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[/inlmath] "obična" derivacija (jel to točno?),

Ajd mi prvo definiši šta je to obična, a šta neobična derivacija.
Verovatno misliš na prvu derivaciju [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[/inlmath] i drugu derivaciju [inlmath]\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}[/inlmath]

eseper je napisao:zbog čega onda u prethodnom zadatku nije
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}-1-2e^t[/dispmath]

Kad bi [inlmath]\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}[/inlmath] bilo jednako jedinici, kao što si ovde napisao, čemu bi onda bilo jednako [inlmath]\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}[/inlmath], kao derivacija od toga? Derivacija jedinice (ili, uopšte, konstante) jednaka je nuli, pa bi [inlmath]\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}[/inlmath] tada bilo nula i onda bi se ta jednačina svela na
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-1-2e^t[/dispmath]
što, naravno, nije tačno.

Tebe možda buni to što si navikao da obično tražimo derivaciju po [inlmath]x[/inlmath], pa kad negde u izrazu koji deriviramo vidiš [inlmath]x[/inlmath], onda umesto njega pišeš [inlmath]1[/inlmath]. Ali, ovde ne deriviramo po [inlmath]x[/inlmath] već po [inlmath]t[/inlmath], a i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] su neke funkcije po [inlmath]t[/inlmath]. Znači, [inlmath]x\left(t\right)[/inlmath] i [inlmath]y\left(t\right)[/inlmath].

eseper je napisao:Što bi se na primjer dogodilo da imam [inlmath]3\ln^2x[/inlmath] i da na njega moram djelovati sa [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[/inlmath] ?

Dogodilo bi se [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(3\ln^2x\right)=3\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\ln^2x=3\cdot 2\ln x\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\ln x=6\ln x\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}[/inlmath].

Daniel je napisao:Ajd mi prvo definiši šta je to obična, a šta neobična derivacija.
Verovatno misliš na prvu derivaciju [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[/inlmath] i drugu derivaciju [inlmath]\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}[/inlmath]

Znači, ako sam dobro shvatio, u zadacima ovakvog tipa deriviram jedino [inlmath]t[/inlmath] (npr [inlmath]e^{2t},\;\ln t[/inlmath] i slično ) Tj. [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath], ovisno što mi ostane u izrazu, ne diram? Jer sad me buni opet posljednji redak tvog tvog posta

eseper je napisao:Znači, ako sam dobro shvatio, u zadacima ovakvog tipa deriviram jedino [inlmath]t[/inlmath] (npr [inlmath]e^{2t},\;\ln t[/inlmath] i slično ) Tj. [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath], ovisno što mi ostane u izrazu, ne diram?

Baš naprotiv, pošto su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] funkcije od [inlmath]t[/inlmath], njih i te kako "diraš" kad tražiš izvod po [inlmath]t[/inlmath]. Na primer: [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\sin t+x^2+y^3\right)=\cos t+2x\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+3y^2\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}[/inlmath]

eseper je napisao:Jer sad me buni opet posljednji redak tvog tvog posta

Šta te tačno buni, reci, pa da razjasnimo?

Shvatio sam, sad mi je potpuno jasno