MATEMANIJA

[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-2\frac{y}{x^2}=\frac{1}{y}x^2[/dispmath]
Treba mi rešenja ove diferencijalne j-ne. Ako se ne varam, u pitanju je Bernulijeva diferencijalna i trebalo bi da [inlmath]z=y^2[/inlmath] bude smena.

Posle se dobije Linearna prvog reda, međutim tu dobijem nerešiv integral. A trebalo bi da bude rešiv.

Izvinjavam se, još nisam savladao latex.

Bernulijeva jednačina je oblika:
[dispmath]y'+P(x)y=Q(x)y^n[/dispmath]
Data jednačina se može napisati kao:
[dispmath]y'-\frac{2}{x^2}y=x^2y^{-1}[/dispmath]
Smena:
[dispmath]t=\frac{1}{y^{n-1}}=\frac{1}{y^{-2}}=y^2[/dispmath]
Dalje je [inlmath]t'=2yy'[/inlmath]
Znamo da je [inlmath]y'-\frac{2}{x^2}y=x^2y^{-1}[/inlmath], pa pomnožimo to sa [inlmath]y[/inlmath].
[dispmath]yy'-\frac{2}{x^2}y^2=x^2[/dispmath]
Uz pomenute smene to postaje:
[dispmath]\frac{1}{2}t'-\frac{2}{x^2}t=x^2[/dispmath]
Množenjem sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]t'-\frac{4}{x^2}t=2x^2[/dispmath]
Ovo je već linearna diferencijalna jednačina prvog reda: [inlmath]t'+f(x)t=g(x)[/inlmath].
Pri tom je [inlmath]f(x)=-\frac{4}{x^2},\;g(x)=2x^2[/inlmath].
Rešenje je:
[dispmath]t(x)=\frac{\int g(x)e^{\int f(x)\mathrm dx}\mathrm dx+C}{e^{\int f(x)\mathrm dx}}[/dispmath]
E sad, tu treba rešiti pre svega integral [inlmath]\int-\frac{4}{x^2}\mathrm dx=\frac{4}{x}+C_1[/inlmath]

Drugi integral koji bi ovde trebalo rešiti bi bio:
[dispmath]\int g(x)e^{\int f(x)\mathrm dx}\mathrm dx=\int 2x^2e^{\frac{4}{x}+C_1}\mathrm dx=2e^{C_1}\int x^2e^{\frac{4}{x}}\mathrm dx[/dispmath]
Integral [inlmath]\int x^2e^{\frac{4}{x}}\mathrm dx[/inlmath] nema rešenje koje se može izraziti preko elementarnih funkcija, ali se može rešiti uz korišćenje eksponencijalnog integrala.

Pardon, nisam se izjasnio.

Dobio sam identično rešenje, ali sam bio ubeđen da je integral rešiv.