MATEMANIJA

[dispmath]xyy'=x^2-y^2[/dispmath]
treba odrediti opće rješenje dif. jednažbe.

molim pomoć, ukoliko netko može na ovom zadatku korak po korak raspisati kako bi trebalo doći do rješenja

Imamo jednačinu:
[dispmath]xyy'=x^2-y^2[/dispmath]
Ovo je homogna diferencijalna jednačina prvog reda:
[dispmath]y'=\frac{x}{y}-\frac{y}{x}[/dispmath]
Rešava se smenom [inlmath]u=\frac{y}{x}[/inlmath], pa je [inlmath]y=ux[/inlmath] i [inlmath]y'=u'x+u[/inlmath]. Kada se sve to uvrsti u prethodnu jednačinu:
[dispmath]u'x+u=\frac{1}{u}-u[/dispmath][dispmath]\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}x=\frac{1}{u}-2u[/dispmath][dispmath]\frac{\mathrm{d}u}{\frac{1}{u}-2u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}[/dispmath]
Dalje ti ostaje samo da nađeš integral obe strane...