smAshh je napisao:Kompleksan broj [inlmath]\left(1+i\sqrt 3\right)^9+\left(\sqrt 3-i\right)^9,\;i=\sqrt{-1}[/inlmath], jednak je:

Transformiši u trigonometrijski oblik, primeni Moavrovu formulu i odmah dolaziš do rešenja.

Inače, ovo je vrlo poznata greška koja se čak i u boljoj literaturi, nažalost, vrlo često pojavljuje:

smAshh je napisao:[inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath]

Ne, imaginarna jedinica [inlmath]i[/inlmath] ne definiše se kao [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath], već se definiše izrazom [inlmath]i^2=-1[/inlmath].

hvala... taj koren me je zbunio...

Ako je [inlmath]f(n)=\left(\frac{1-i}{\sqrt 2}\right)^n[/inlmath] izracunati [inlmath]f(2013)[/inlmath]

Imaš grešku u postavci, u izrazu za funkciju [inlmath]f\left(n\right)[/inlmath] nigde ti se ne pojavljuje [inlmath]n[/inlmath].

ispravio sam

Isto kao i u prethodnom zadatku, transformišeš [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt 2}\right)^n[/inlmath] u trigonometrijski oblik, pri čemu se [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] krati, zatim primeniš Moavrovu formulu – to sve, pretpostavljam, znaš ako si uradio prethodni zadatak.
I onda za [inlmath]f\left(2013\right)[/inlmath] dobiješ izraz [inlmath]\cos\frac{2013\pi}{4}-i\sin\frac{2013\pi}{4}[/inlmath]. Možda te taj deo buni. (Mada, opet, kažem, nagađam, jer nisi napisao šta ti u ovom zadatku predstavlja problem.) Pošto je period sinusne i kosinusne funkcije [inlmath]2\pi[/inlmath], onda razlomak [inlmath]\frac{2013\pi}{4}[/inlmath] treba da napišeš u obliku [inlmath]2k\pi+[/inlmath](pa razlomak s nekim manjim brojevima). Konkretno,
[dispmath]\frac{2013\pi}{4}=\frac{\left(2008+5\right)\pi}{4}=\frac{\left(2008+5\right)\pi}{4}=502\pi+\frac{5\pi}{4}=2\cdot 251\pi+\frac{5\pi}{4}[/dispmath]
Pošto je
[dispmath]\cos\left[2\cdot 251\pi+\frac{5\pi}{4}\right]=\cos\frac{5\pi}{4}[/dispmath]
i
[dispmath]\sin\left[2\cdot 251\pi+\frac{5\pi}{4}\right]=\sin\frac{5\pi}{4}[/dispmath]
izraz za vrednost tražene funkcije svodi se na
[dispmath]f\left(2013\right)=\cos\frac{5\pi}{4}-i\sin\frac{5\pi}{4}[/dispmath]
a to dalje znaš kako da nađeš... Dobije se [inlmath]-\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath].

a moze li da se radi bez transformisanja u trig. oblik?

Možda i može, tako što nađeš [inlmath]\left(1-i\right)^2[/inlmath], pa [inlmath]\left(1-i\right)^3[/inlmath], pa [inlmath]\left(1-i\right)^4[/inlmath] itd. i uočiš neku pravilnost po kojoj možeš zaključiti i koliko je [inlmath]\left(1-i\right)^{2013}[/inlmath], posle čega još to podeliš sa [inlmath]\left(\sqrt 2\right)^{2013}[/inlmath]... Nisam isprobao, samo pretpostavljam. Eto, ako te zanima, možeš to pokušati...

Ja mislim da je tako jednostavnije jedino kad je eksponent parni broj

U tom slučaju, umesto za [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt 2}\right)^{2013}[/inlmath], računaj za [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt 2}\right)^{2012}[/inlmath] pa ćeš imati paran broj u eksponentu... Naravno, na kraju samo još pomnoži rezultat sa [inlmath]\frac{1-i}{\sqrt 2}[/inlmath] i dobićeš [inlmath]\left(\frac{1-i}{\sqrt 2}\right)^{2013}[/inlmath].