Hvala obojici Pada li vam možda napamet što bi me još moglo dopasti uz kompleksni? Znači, uvijek bude neki preduvjet za rješavanje samog zadatka, primjerice kao u ovom dobiti [inlmath]C[/inlmath], ili kao u ovom dobiti rješenje sustava... Uz dijeljenje, kao u zadatku poviše, može me još dopasti na primjer pomnožiti neke izraze ili možda potencirati, korjenovati... što bi se još moglo ubaciti u takav zadatak? Ima li ideja?

U međuvremenu evo sljedećeg na provjeru:
[dispmath]\left[z+\left(\sqrt{3}+i\right)^6\right]^3=\frac{(i-1)^4}{(i+1)^3+\Im(i+1)^3}[/dispmath]

---

[inlmath]*\left(\sqrt{3}+i\right)^6=-64[/inlmath]
[inlmath]*(i-1)^4=-4[/inlmath]
[inlmath]*(i+1)^3=2i-2[/inlmath]
[inlmath]*\Im(i+1)^3=2[/inlmath]

---

[dispmath][z+64]^3=\frac{-4}{2i}[/dispmath]
[inlmath][z+64]^3=-2i\quad /\sqrt[3]{}[/inlmath]
[dispmath]z+64=\sqrt[3]{-2i}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{-2i} -64[/dispmath][dispmath]r=2[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\phi=\mathrm{tg}\frac{-2}{0}=\infty=\frac{3\pi}{2}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)-64[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{3\pi+4k\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi+4k\pi}{6}\right)-64[/dispmath][dispmath]k=0,1,2.[/dispmath]

eseper je napisao:Hvala obojici Pada li vam možda napamet što bi me još moglo dopasti uz kompleksni? Znači, uvijek bude neki preduvjet za rješavanje samog zadatka, primjerice kao u ovom dobiti [inlmath]C[/inlmath], ili kao u ovom dobiti rješenje sustava... Uz dijeljenje, kao u zadatku poviše, može me još dopasti na primjer pomnožiti neke izraze ili možda potencirati, korjenovati... što bi se još moglo ubaciti u takav zadatak? Ima li ideja?

Ovo pitanje je teže i od najtežeg zadatka. Šalu na stranu, vrlo je nezahvalno ovde nabrajati šta ti sve može pasti, jer možda ti mi ovde nabrojimo pet stvari a na ispitu ti dođe nešto šesto... Najsigurnije ti je da pogledaš zadatke iz prethodnih rokova, mislim da će ti to biti najpouzdaniji odgovor na tvoje pitanje.
Možda Milovan ili još neko bude malo rečitiji, ali od mene – toliko.

eseper je napisao:U međuvremenu evo sljedećeg na provjeru:
[dispmath]\left[z+\left(\sqrt{3}+i\right)^6\right]^3=\frac{(i-1)^4}{(i+1)^3+Im(i+1)^3}[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath][z{\color{red}+}64]^3=\frac{-4}{2i}[/dispmath]

Umesto plusa treba minus, lepo si bio dobio da ti je [inlmath]\left(\sqrt 3+i\right)^6={\color{red}-}64[/inlmath], ali si ovde pogrešno uvrstio.

eseper je napisao:[inlmath][z+64]^3={\color{red}-}2i\quad /\sqrt[3]{}[/inlmath]

[inlmath]\frac{-4}{2i}=\frac{-2}{i}=\frac{-2}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{-2i}{i^2}=\frac{-2i}{-1}=2i[/inlmath]
Dakle, [inlmath]2i[/inlmath], bez minusa.

eseper je napisao:[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi={\color{red}\mathrm{tg}\frac{-2}{0}=\infty=\frac{3\pi}{2}}[/dispmath]

Već sam ti bio napisao da takve jednakosti nisu tačne, na šta si odgovorio Lako ćemo za to...

[inlmath]\phi\ne\frac{-2}{0}[/inlmath], tj. [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi\ne\mathrm{tg}\frac{-2}{0}[/inlmath]

Pravilno je [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi=\frac{\Im\left(z\right)}{\Re\left(z\right)}[/inlmath], a ne [inlmath]\phi=\frac{\Im\left(z\right)}{\Re\left(z\right)}[/inlmath]

Daniel je napisao:Najsigurnije ti je da pogledaš zadatke iz prethodnih rokova, mislim da će ti to biti najpouzdaniji odgovor na tvoje pitanje.

Sve sam pogledao i većinom rješio, samo uvijek se nešto novo pojavi. Zato sam i pitao ima li ko ideja Nadam se da se nema što novog za izmisliti osim ovoga do sada

Što se tiče zadatka
Umjesto [inlmath]-[/inlmath] sam napisao [inlmath]+[/inlmath] u zadatku, tako da je točno:
[dispmath]\left[z-\left(\sqrt{3}+i\right)^6\right]^3=\frac{(i-1)^4}{(i+1)^3+\Im(i+1)^3}[/dispmath]
Pa je onda ipak točno
[dispmath][z+64]^3=2i[/dispmath]
bez minusa desno, to sam stvarno bio falio Samim tim kut neće biti [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath] nego [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]...

Daniel je napisao: Već sam ti bio napisao da takve jednakosti nisu tačne, na šta si odgovorio Lako ćemo za to...

Zaslužio sam
Neće se ponoviti

ej evo i mene malo
sve vas kužin <3

eseper je napisao:Hvala obojici Pada li vam možda napamet što bi me još moglo dopasti uz kompleksni? Znači, uvijek bude neki preduvjet za rješavanje samog zadatka, primjerice kao u ovom dobiti C, ili kao u ovom dobiti rješenje sustava... Uz dijeljenje, kao u zadatku poviše, može me još dopasti na primjer pomnožiti neke izraze ili možda potencirati, korjenovati... što bi se još moglo ubaciti u takav zadatak? Ima li ideja?

Nisam baš pristalica tipskog razmišljanja pa ni ja neću biti rečitiji od Daniela, ali... U principu iz ove (kao i svake druge) oblasti možeš smisliti tonu atipičnih zadataka... Ako želiš, mogu da ti naređam niz takvih... No, kako se radi o gradivu za ispit najbolje da sam proceniš moguću širinu zahteva- kako i Daniel reče, pre svega na osnovu ranijih rokova. Neke jednostavnije zadatke za vežbu svakako možeš naći i na ovom potforumu (kompleksna analiza), pa proceni da li tu za tebe ima nečeg novog.

Ono što se može reći s velikom sigurnošću jeste to da se svi ti zadaci (nekad upakovani u složeniju formu) mogu svesti na nabrojano- na poznavanje operacija sa kompleksnim brojevima... Množenje, sabiranje, oduzimanje, deljenje, stepenovanje, prevođenje u trigonometrijsku, eksponencijalnu formu itd, itd. Dobar deo zadataka gde je nepoznato [inlmath]z[/inlmath] se u principu može rešiti smenom [inlmath]z=x+iy[/inlmath] i daljim pojednostavljenjem polaznog tvrđenja ili jednačine...

Dakle, sve da ti na ispitu daju zadatak sa kojim se do sada nisi sretao- principi za njegovo rešavanje su vrlo verovatno isti ili krajnje slični onim koje već poznaješ i svakako se u krajnjem smislu svode na baratanje sa osobinama kompleksnih brojeva.

Tako i sam razmišljam U principu, uvijek se pojavi kompleksni u kojem najčešće treba srediti izraze, a potom ih grupirati i ako postoji, kao u onom sa [inlmath]C[/inlmath], rješiti neke uvjete, sustave i slično. Lani se, eto, pojavilo dijeljenje kompleksnih brojeva, a ovaj put bi moglo npr. množenje. Ali, praktički, ovi tipovi se rješavaju na istu shemu tako da ne može doći nešto lijevo

Ok, ajmo na sljedeći:
[dispmath]\frac{Qz^7+(1+i)z^5-\left(i+\sqrt{3}\right)z^2+\left(2\sqrt{3}i-2\right)z-\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}i-i}{2i^{5448}z^6}=1[/dispmath]

[dispmath]Q= \frac{\cos\frac{19\pi}{12}-i\sin\frac{19\pi}{12}}{\cos\frac{13\pi}{12}-i\sin\frac{13\pi}{12}}[/dispmath]

---

[dispmath]Q=\cos\left(\frac{19\pi}{12}-\frac{13\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{19\pi}{12}-\frac{13\pi}{12}\right)=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i[/dispmath]
[dispmath]i^{5448}=i^0=1[/dispmath]
Ovako, ja neću pisati cijeli postupak sređivanja jer bi itekako potrajalo, pa to ostavljam dobrovoljcu. Što se mene tiče, nakon polusatnog sređivanja dobio sam sljedeće:
[dispmath]iz^5\left[z^2+2i+(1-i)\right]-\left(i+\sqrt{3}\right)\left[z^2{\color{red}-}2i+(1-i)\right]=0[/dispmath]
Minus mi je crven jer ni pod razno na to mjesto nisam mogao "staviti" plus (što bi trebalo da se taj izraz u uglatim zagradama može izlučiti, odnosno da se slaže s prvim izrazom u uglatim zagradama). Prekontrolirao sam 2 puta i jednostavno mislim da je to greška sastavljača. Zato sam i postavio zadatak ovdje...

Evo samo nekoliko izraza koji će se pojaviti, da olakšam onome ko bude rješavao:

* [dispmath]\frac{2\sqrt{3}i-2}{i+\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}i-2}{i+\sqrt{3}} \frac{i-\sqrt{3}}{i-\sqrt{3}}=2i[/dispmath]
* [dispmath]\frac{1+\sqrt{3}-\sqrt{3}i+i}{i+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{3}-\sqrt{3}i+i}{i+\sqrt{3}} \frac{i-\sqrt{3}}{i-\sqrt{3}}=1-i[/dispmath]

Prvo, u jednačini

eseper je napisao:[dispmath]iz^5\left[z^2+2i+(1-i)\right]-\left(i+\sqrt{3}\right)\left[z^2{\color{red}-}2i+(1-i)\right]=0[/dispmath]

na oba mesta gde stoji [inlmath]2i[/inlmath] fali ti još i [inlmath]z[/inlmath].

E sad, imaš grešku kod izračunavanja [inlmath]Q[/inlmath]. Prevideo si da u izrazu za [inlmath]Q[/inlmath],
[dispmath]Q=\frac{\cos\frac{19\pi}{12}{\color{red}-}i\sin\frac{19\pi}{12}}{\cos\frac{13\pi}{12}{\color{red}-}i\sin\frac{13\pi}{12}}[/dispmath]
i u brojiocu i u imeniocu imaš minuse. To znači da u tom izrazu ne smemo jednostavno da od argumenta koji se pojavljuje u brojiocu oduzmemo argument koji se pojavljuje u imeniocu, već taj izraz moramo napisati u takvom obliku gde će argument sinusa i kosinusa biti negativan:
[dispmath]Q=\frac{\cos\frac{-19\pi}{12}+i\sin\frac{-19\pi}{12}}{\cos\frac{-13\pi}{12}+i\sin\frac{-13\pi}{12}}[/dispmath]
i tek sada smemo da oduzmemo argumente, pa će [inlmath]Q[/inlmath] biti jednako
[dispmath]Q=\cos\left(\frac{-19\pi}{12}+\frac{13\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{-19\pi}{12}+\frac{13\pi}{12}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}-i\sin\frac{\pi}{2}=-i[/dispmath]
Međutim, posle ove ispravke dobije se jednačina u kojoj problem predstavlja onaj slobodan član:
[dispmath]-\left(z^2-2iz-1+i\right)iz^5-\left(i+\sqrt 3\right)\left(z^2-2iz{\color{red}+}1{\color{red}-}i\right)=0[/dispmath]
Moguće da sam i ja nešto prevideo u računu, mada sam prešao ceo postupak nekoliko puta... Proveri da li si dobro prepisao taj deo zadatka...

U [inlmath]Q[/inlmath] je ipak plus (a na kraju je tako i izračunato). Totalno me izludio ovaj zadatak pa sam vjerojatno zbog toga stavio i minus ovde na forumu. Stvarno se izvinjavam, ne trebaš sada računati, proći ću sutra opet sve po 4. put...