MATEMANIJA

E ovako :

1. naci [inlmath]z[/inlmath] is uslova [dispmath]\left|z\right|+z-4=\frac{8i+2}{1+i}[/dispmath]
da li u ovakvom zadatku kada prebacim [inlmath]4[/inlmath] desno moram prvo da uradim deljenje kompleksnih brojeva pa onda da dodam [inlmath]4[/inlmath] ili mogu normalno da dodam [inlmath]4[/inlmath]?
i kad to uradim sta da radim sa ovim ostatkom levo?da li misle na ovo kao [inlmath]\bmod z+z[/inlmath] ili [inlmath]\mathrm{aps}(z)+z[/inlmath] ?


2. Izracunati [dispmath]\left[56\left(\frac{1+2i}{3+i}\right)^6+\frac{45}{4}\right]^{\frac{1}{2}}[/dispmath]
dalje dobijem [dispmath]\left[56\left(\frac{1+i}{2}\right)^6+\frac{45}{4}\right]^{\frac{1}{2}}[/dispmath]
pre kad sam radio ovavakv zadatak sam uzeo i razvio ovaj polinom i uvek se bas namucim pa da li ima neki laksi metod?
dobijem [inlmath]-8i[/inlmath] kad ga razivjem. tako da bude [dispmath]\left[56\left(\frac{-8i}{64}\right)+\frac{45}{4}\right]^{\frac{1}{2}}[/dispmath][dispmath]x^2-y^2=-\frac{56}{8}[/dispmath][dispmath]x=\frac{45}{8y}[/dispmath]
znaci
[dispmath]-64y^4+448y^2+2025=0[/dispmath] sto mi ne daje dobar rezultat.Uradio sam pre ovoga isti tip zadatka samo sa razlicitim brojevima i bio je dobar ali ovde ne mogu dan nadjem gresku


3. Odrediti sve vrednosti za
a)[dispmath](-8i)^{\frac{1}{3}}[/dispmath]
b)[dispmath](-1+i)^{\frac{1}{3}}[/dispmath]
e sad ja ovo prebacim u [dispmath]z^n=r^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)[/dispmath] ali sa dalje kako da nadjem [inlmath]0[/inlmath]ti koren od necega za [inlmath]k=0[/inlmath]?


4. Naci sve vrednosti za [inlmath]z^{\frac{1}{2}}[/inlmath] ako je [inlmath]z[/inlmath] odredjeno [dispmath]\Im\left(\frac{1+z}{4+4i}+iz\right)=-\Re\left(\frac{1+z}{4+4i}+iz\right)=3[/dispmath]
dobijem [dispmath]\frac{(3-3i)(4+4i)-4-4i}{-8i}=z[/dispmath] sto mi ne daje dobar rezultat

Odd one out je napisao:1. naci [inlmath]z[/inlmath] is uslova [dispmath]\left|z\right|+z-4=\frac{8i+2}{1+i}[/dispmath]
da li u ovakvom zadatku kada prebacim [inlmath]4[/inlmath] desno moram prvo da uradim deljenje kompleksnih brojeva pa onda da dodam [inlmath]4[/inlmath] ili mogu normalno da dodam [inlmath]4[/inlmath]?
i kad to uradim sta da radim sa ovim ostatkom levo?da li misle na ovo kao [inlmath]\bmod z+z[/inlmath] ili [inlmath]\mathrm{aps}(z)+z[/inlmath] ?

Nije bitan redosled – svejedno je da li bi prvo racionalisao izraz [inlmath]\frac{8i+2}{1+i}[/inlmath] pa mu zatim dodao četvorku, ili bi sabrao razlomak i četvorku svođenjem na zajednički imenilac pa zatim racionalisao. Ali, u ovom zadatku nema potrebe da radiš bilo šta od toga.

Kod kompleksnih brojeva nemaš apsolutnu vrednost, već moduo. Kada [inlmath]z[/inlmath] napišeš kao [inlmath]x+iy[/inlmath], moduo će ti biti [inlmath]\sqrt{x^2+y^2}[/inlmath]. Uvrsti to u jednačinu i izjednači realne i imaginarne delove. Za [inlmath]y[/inlmath] ćeš, izjednačavanjem imaginarnih delova, odmah dobiti konkretnu vrednost, koju ćeš uvrstiti u jednačinu koju dobijaš izjednačavanjem realnih delova, a koju, zatim, rešavaš po [inlmath]x[/inlmath]...

Za drugi...

Mozes izbeci koriscenje razvoja ako primetis da je [dispmath]\left[(1+i)^2\right]^3=(2i)^3=2^3i^3=-8i[/dispmath]
Pretpostavljam da si dalje ceo izraz izjednacio sa [inlmath]z=x+iy[/inlmath] i kvadrirao obe strane, pri tom izjednacujuci realni i imaginarni deo. Pogresan rezultat dobijas jer si obrnuo ta dva. Naime, dobija se
[dispmath]-7i+\frac{45}{4}=x^2-y^2+2ixy[/dispmath]
Odatle je [inlmath]2xy=-7[/inlmath], a [inlmath]x^2-y^2=\frac{45}{4}[/inlmath]

Moram napomenuti da ces ovako dobiti cetiri moguca resenja, a treba dva. To je zato sto se kvadriranjem gubi razlika izmedju [inlmath]z[/inlmath] i [inlmath]-z[/inlmath].

Treći je tipičan zadatak sa korenovanjem kompleksnog broja. Prvo prevedeš potkorenu veličinu u trigonometrijski oblik i onda primeniš da je:
[dispmath]\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]\rho\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)[/dispmath]
Za početak pod b). Broj [inlmath]-1+i[/inlmath] možeš prevesti u trigonometrijski oblik na sledeći način:
[dispmath]\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt 2}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)[/dispmath]
Zatim iskoristi ovu prvu formulu, zamenom vrednosti [inlmath]n=3,\;\varphi=\frac{3\pi}{4}[/inlmath]. Za [inlmath]k[/inlmath] treba da uzmeš tri različite vrednosti- [inlmath]0,1,2[/inlmath] i polazeći od toga dobićeš i tri korena.

Pod a) takođe dobijaš tri moguća korena. [inlmath]\sqrt[3]{-8i}=-2\sqrt[3]i[/inlmath]. Tebi ostavljam da prevedeš [inlmath]i[/inlmath] u trigonometrijski oblik i nađeš odgovarajuće korenove.

Odd one out je napisao:4. Naci sve vrednosti za [inlmath]z^{\frac{1}{2}}[/inlmath] ako je [inlmath]z[/inlmath] odredjeno [dispmath]\Im\left(\frac{1+z}{4+4i}+iz\right)=-\Re\left(\frac{1+z}{4+4i}+iz\right)=3[/dispmath]
dobijem [dispmath]\frac{(3-3i)(4+4i)-4-4i}{-8i}=z[/dispmath] sto mi ne daje dobar rezultat

Zaista ne možemo znati gde si napravio grešku ako ne priložiš svoj postupak.
Treba da središ izraz [inlmath]\frac{1+z}{4+4i}+iz[/inlmath] tako što [inlmath]z[/inlmath] napišeš kao [inlmath]x+iy[/inlmath], zatim sabereš razlomke, racionalizuješ, izdvojiš realan i imaginaran deo... i dobićeš sistem od dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], čijim rešavanjem dobiješ da je [inlmath]z=3+i4[/inlmath]. Zatim iz toga nađeš [inlmath]z^{\frac{1}{2}}[/inlmath]...

taj korak sam stavio zato sto sam mislio da mi je tu greska,pa sam hteo da ga proverim

Kada se ovo što si naveo sredi dobije se da je [inlmath]z=\frac{1}{2}+i\frac{5}{2}[/inlmath], što nije dobar rezultat.

Koja su resenja u 3. zadatku pod a.)? U zbirci pisu resenja [inlmath]Z_0=\sqrt3-i[/inlmath], [inlmath]Z_1=2i[/inlmath] i [inlmath]Z_2=-\sqrt3-i[/inlmath] dok ja dobijam [inlmath]Z_0=2i[/inlmath], [inlmath]Z_1=-\sqrt3+i[/inlmath] i [inlmath]Z_2=-\sqrt3-i[/inlmath]
I jedini nacin da se povezu resenja iz zbirke je da se pomera za [inlmath]120[/inlmath] stepeni sa pocetkom u [inlmath]\frac{11\pi}{6}[/inlmath] sto ne vidim kako je moguce.

Dakle, od ukupno tri rešenja, dva ti se poklapaju s onima u zbirci, dok se treće rešenje razlikuje – u zbirci je [inlmath]\sqrt3-i[/inlmath], a ti si dobio [inlmath]-\sqrt3+i[/inlmath]. Da bi proverio koje rešenje je tačno, da li ono u zbirci ili tvoje, digni svaki od ta dva rešenja na treći stepen i vidi hoćeš li dobiti [inlmath]-8i[/inlmath].

Boris je napisao:I jedini nacin da se povezu resenja iz zbirke je da se pomera za [inlmath]120[/inlmath] stepeni sa pocetkom u [inlmath]\frac{11\pi}{6}[/inlmath] sto ne vidim kako je moguce.

Nisam baš razumeo šta si ovime želeo da kažeš. Rešenja iz zbirke jesu po argumentu međusobno pomerena za [inlmath]120^\circ[/inlmath].

Dobro, sad znam da mi taj odgovor nije tacan pa ajde da krenem iz pocetka, dobio sam da je [inlmath]\theta=\frac{3\pi}{2}[/inlmath] odnosno da je argument [inlmath]270[/inlmath] stepeni jer to je ugao za koji odgovaraju trigonometrijske vrednosti. Odgovara [inlmath]\sin\frac{3\pi}{2}=-1[/inlmath] i [inlmath]\tan\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\infty[/inlmath]
To kada ubacim u formulu za korenovanje komplesknih brojeva dobijem:
[dispmath]Z_k=\sqrt[3]8\left(\cos\left(\frac{3\pi+2k\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi+2k\pi}{6}\right)\right)[/dispmath] I samim tim dobijam da se meni ugao pomera za [inlmath]60[/inlmath] stepeni i dobicu samo 2 tacna resenja, ne znam gde sam pogresio.