MATEMANIJA

Zadatak ide ovako:
Prikaži rješenja jednadžbe [inlmath]z^3+8=0[/inlmath] u Gaussovoj ravnini.

Za početak, reši ovu jednačinu.
[dispmath]z^3+8=(z+2)\left(z^2-2z+4\right)=0[/dispmath]
Jedno rešenje je onda [inlmath]z=-2[/inlmath], a preostala dva nađeš rešavanjem kvadratne jednačine [inlmath]z^2-2z+4=0[/inlmath]

I onda ta rešenja pozicioniraš u Gausovoj (kompleksnoj) ravni.

Može tako, a može i ovako:
[dispmath]z^3=-8[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{-8}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{8\left[\cos\left(\pi+2k\pi\right)+i\sin\left(\pi+2k\pi\right)\right]}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{\cos\left(\pi+2k\pi\right)+i\sin\left(\pi+2k\pi\right)}[/dispmath][dispmath]z=2\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3}\right)[/dispmath]
što daje tri rešenja, svako od ta tri rešenja ima vrednost modula [inlmath]2[/inlmath], a argumenti su im [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath], [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath].
Drugim rečima, rešenja su u Gauss-ovoj ravni raspoređena u temenima jednakostraničnog trougla, čije je središte u koordinatnom početku.

Milovan je napisao:Za početak, reši ovu jednačinu.
[dispmath]z^3+8=(z+2)\left(z^2-2z+4\right)=0[/dispmath]
Jedno rešenje je onda [inlmath]z=-2[/inlmath], a preostala dva nađeš rešavanjem kvadratne jednačine [inlmath]z^2-2z+4=0[/inlmath]

I onda ta rešenja pozicioniraš u Gausovoj (kompleksnoj) ravni.

Ok.
Jedno rjesenje jedino kuzim a to je ovo [inlmath]z+2=0,\;z=-2[/inlmath] kao šta si napisao.
Onda sam isao racunat ova druga dva rjesenja odnosno ovu kvadratnu jednadzbu i ispod korjena mi se našao [inlmath]-12[/inlmath]! Kako dalje?
[dispmath]z^3+8=0[/dispmath][dispmath]z^3+2^3=\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)[/dispmath]
[inlmath]1^\circ[/inlmath]
[dispmath]z+2=0[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{z_1=-2}[/dispmath]
[inlmath]2^\circ[/inlmath]
[dispmath]z^2-2z+4=0[/dispmath][dispmath]z_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-16}}{2}[/dispmath][dispmath]z_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{-12}}{2}[/dispmath][dispmath]\sqrt{-12}=?[/dispmath]

---

2. način:
[dispmath]z^3=-8[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{-8}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{8\left[\cos\left(\pi+2k\pi\right)+i\sin\left(\pi+2k\pi\right)\right]}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]8\cdot\sqrt[3]{\cos\left(\pi+2k\pi\right)+i\sin\left(\pi+2k\pi\right)}[/dispmath][dispmath]z=2\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3}\right)[/dispmath]
@Daniel
Mozes malo pojasniti sta si tocno radio dok si rjesavao?
Odakle si izvukao [inlmath]\cos[/inlmath] i [inlmath]i\sin[/inlmath]? Te odakle ti [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]2k\pi[/inlmath]? I što znace oni?

DommY je napisao:ispod korjena mi se našao [inlmath]-12[/inlmath]! Kako dalje?

[inlmath]\pm\sqrt{-12}[/inlmath] napišeš ovako:
[dispmath]\pm\sqrt{-12}=\pm\sqrt{\left(-1\right)\cdot 4\cdot 3}=\pm\sqrt{-1}\sqrt 4\sqrt 3=\pm i2\sqrt 3[/dispmath]

DommY je napisao:@Daniel
Mozes malo pojasniti sta si tocno radio dok si rjesavao?
Odakle si izvukao [inlmath]\cos[/inlmath] i [inlmath]i\sin[/inlmath]? Te odakle ti [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]2k\pi[/inlmath]? I što znace oni?

To ti je predstavljanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, to bi trebalo da znaš, budući da si o tome sinoć čak i pokrenuo temu, evo je ovde.
[inlmath]-8[/inlmath] sam rastavio na [inlmath]8\cdot\left(-1\right)[/inlmath], pri čemu je [inlmath]8[/inlmath] modul tog broja u kompleksnoj ravni, a [inlmath]-1[/inlmath] predstavlja broj čiji je moduo [inlmath]1[/inlmath], a argument [inlmath]\pi[/inlmath], prema tome, to će biti argument sinusa i kosinusa u trigonometrijskom zapisu. Na taj argument dodajemo period [inlmath]2k\pi[/inlmath] jer se vrednost tih funkcija periodično ponavlja posle svake periode koja iznosi [inlmath]2\pi[/inlmath].

Hvala, sad je jasnije!

Evo do kuda sam dosao, sad znaci sam dobio [inlmath]z_1,z_2,z_3[/inlmath] (oznaceno strelicom), kako ta tri rjesenja nacrtati u koord sustavu?
Trebam iz njih nekako dobit 3 točke? kako?
[dispmath]z^3+8=0[/dispmath][dispmath]z^3+2^3=\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)[/dispmath]
[inlmath]1^\circ[/inlmath]
[dispmath]z+2=0[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{z_1=-2}[/dispmath]
[inlmath]2^\circ[/inlmath]
[dispmath]z^2-2z+4=0[/dispmath][dispmath]z_{2,3}=\frac{2\pm\sqrt{4-16}}{2}[/dispmath][dispmath]z_{2,3}=\frac{2\pm\sqrt{-12}}{2}=\frac{2\pm 2i\sqrt 3}{2}[/dispmath][dispmath]z_2=\frac{2+2i\sqrt 3}{2}=\frac{\cancel 2\left(1+i\sqrt 3\right)}{\cancel 2}=\enclose{box}{1+i\sqrt 3}[/dispmath][dispmath]z_3=\frac{2-2i\sqrt 3}{2}=\frac{\cancel 2\left(1-i\sqrt 3\right)}{\cancel 2}=\enclose{box}{1-i\sqrt 3}[/dispmath]

Sad ti je to sasvim jednostavno. Za svako od rešenja imaš realni i imaginarni deo i to su ti koordinate svake tačke. Vrednost realnog dela je jedna koordinata (na realnoj osi, tj. na apscisi), a vrednost imaginarnog dela je druga koordinata (na imaginarnoj osi, tj. na ordinati).
[dispmath]z_1=-2\quad\Rightarrow\quad\left(-2,0\right)[/dispmath][dispmath]z_2=1+i\sqrt 3\quad\Rightarrow\quad\left(1,\sqrt 3\right)[/dispmath][dispmath]z_3=1-i\sqrt 3\quad\Rightarrow\quad\left(1,-\sqrt 3\right)[/dispmath]

Rješeno, hvala!

[dispmath]z^8+(1-i)z^4=i[/dispmath]

Rešavaš kvadratnu jednačinu po [inlmath]z^4[/inlmath].

[dispmath]z^8+(1-i)z^4=i[/dispmath]
Ovo je ekvivalentno sa: [inlmath]t^2+(1-i)t=i,\;t=z^4[/inlmath]

E sad, mala improvizacija.

Za [inlmath]t=x+iy,\;(x+iy)^2+(1-i)(x+iy)=i=x^2-y^2+2ixy+x+iy-ix+y[/inlmath].
Odatle:
[inlmath]x^2+x+y-y^2+i(2xy+y-x-1)=0[/inlmath]

Sledi da je [inlmath]x^2+x+y-y^2=0[/inlmath] i [inlmath]2xy+y-x-1=0[/inlmath].

I onda rešiš sistem i odbiješ vrednosti [inlmath](0,1),\;(-1, 0)[/inlmath] kao rešenja.

Otuda znaš koliko je [inlmath]t[/inlmath], vratiš smenu, itd.

Malo duži put, ali čisto da znaš još jednu mogućnost da se ispetljaš sa ovim zadatkom.

Dakle, rešenja po [inlmath]t[/inlmath] su: [inlmath]t_1=0+1i[/inlmath] i [inlmath]t_2=-1+0i[/inlmath].
Dakle, [inlmath]t_1=-1[/inlmath] i [inlmath]t_2=i[/inlmath]

Vratiš smenu, itd.

Inače, možeš i odmah da primetiš da je [inlmath]t^2+(1-i)t-i=t^2+t-it-i=t(t+1)-i(t+1)=(t-i)(t+1)=0[/inlmath]

Hvala milovane.

Ja sam završio zadatak i evo što sam dobio:

Po [inlmath]z^4=-1[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\left(\frac{0+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{0+2k\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]k=0,1,2,3[/dispmath]
Po [inlmath]z^4=i[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]k=0,1,2,3[/dispmath]
Ako je ovo točno, trebalo bi još odrediti kutove, ali to nije nikakav problem...

eseper je napisao:Po [inlmath]z^4=-1[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\left(\frac{0+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{0+2k\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]k=0,1,2,3[/dispmath]

Ali zašto [inlmath]0+2k\pi[/inlmath]? Taj ugao bi odgovarao broju [inlmath]1[/inlmath], a mi ovde imamo broj [inlmath]-1[/inlmath].

eseper je napisao:Po [inlmath]z^{4}=i[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]k=0,1,2,3[/dispmath]

To je OK, ali izdeli to... Krajnji oblik će ti biti
[dispmath]z=\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\right)[/dispmath]

Da, ali kut se određuje po onoj formuli [inlmath]\mathrm{tg}\:\varphi =[/inlmath] imaginarni kroz realni dio. Pošto je ovdje imaginarni dio nula (nema ga?), [inlmath]0[/inlmath] podijeljeno s bilo kojim brojem daje nulu. Zbog toga sam napisao [inlmath]0+2k\pi[/inlmath]. Hm..

eseper je napisao:Da, ali kut se određuje po onoj formuli [inlmath]\mathrm{tg}\:\varphi =[/inlmath] imaginarni kroz realni dio.

Nije to baš tako jednostavno. Tangens je funkcija s periodom [inlmath]k\pi[/inlmath]. Primera radi, [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt 3[/inlmath], ali je takođe i [inlmath]\mathrm{tg}\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt 3[/inlmath]. Zato, kad određuješ argument kompleksnog broja iz njegovog tangensa, moraš voditi računa i o tome u kom će se kvadrantu nalaziti taj ugao, a prema sledećim pravilima:

[inlmath]\Re\left(z\right)>0,\;\Im\left(z\right)>0\quad\Rightarrow\quad\varphi\;[/inlmath] je u [inlmath]1.[/inlmath] kvadrantu;
[inlmath]\Re\left(z\right)<0,\;\Im\left(z\right)>0\quad\Rightarrow\quad\varphi\;[/inlmath] je u [inlmath]2.[/inlmath] kvadrantu;
[inlmath]\Re\left(z\right)<0,\;\Im\left(z\right)<0\quad\Rightarrow\quad\varphi\;[/inlmath] je u [inlmath]3.[/inlmath] kvadrantu;
[inlmath]\Re\left(z\right)>0,\;\Im\left(z\right)<0\quad\Rightarrow\quad\varphi\;[/inlmath] je u [inlmath]4.[/inlmath] kvadrantu;

Pročitaj i ovaj Milovanov post.

U ovom graničnom slučaju, kada je [inlmath]\Re\left(z\right)<0[/inlmath], a [inlmath]\Im\left(z\right)=0[/inlmath], [inlmath]\varphi[/inlmath] će biti tačno između [inlmath]2.[/inlmath] i [inlmath]3.[/inlmath] kvadranta, a tome odgovara ugao [inlmath]\varphi=\pi+2k\pi[/inlmath].

Argument kompleksnog broja [inlmath]z=x+yi[/inlmath] određuješ ovako:

[dispmath]\varphi=\arg(z)=\begin{cases}
\mbox{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) & \mbox{ako }x>0\\
\mbox{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)+\pi & \mbox{ako }x< 0\mbox{ i }y\ge 0\\
\mbox{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)-\pi & \mbox{ako }x<0\mbox{ i }y<0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{ako }x=0\mbox{ i }y>0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{ako }x=0\mbox{ i }y<0\\
\mbox{nedefinisano } & \mbox{ako }x=0\mbox{ i }y=0.
\end{cases}[/dispmath]

Hvala obojici! Razumio sam