MATEMANIJA

Ako je [inlmath]z+\frac{1}{z}=1[/inlmath], izracunati [inlmath]z^{1000}+\frac{1}{z^{1000}}[/inlmath]
Resio sam ovu prvu jednacinu i dobio da su: [inlmath]z_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] i normalno drugo resenje konjugovano kompleksni broj ovom prvom.
E sad, primenio sam Moavrovu formulu (izvinite ako sam pogresio ime) na jedno i drugo resenje. Na taj nacin sam izracunao [inlmath]z^{1000}[/inlmath]. Dalje zamenom u [inlmath]z^{1000}+\frac{1}{z^{1000}}[/inlmath] dobijam trazenu vrednost. Ali u resenju nisu stavili dve vrednosti, vec samo [inlmath]-1[/inlmath], a to dobijam kada resavam za [inlmath]z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i[/inlmath]. Verovatno sam pogresio negde kada sam resavao za [inlmath]z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i[/inlmath].

Da, pogrešio si kad si rešavao za [inlmath]z=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], jer i za [inlmath]z=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] treba da se dobije [inlmath]z^{1000}+\frac{1}{z^{1000}}=-1[/inlmath], što možeš da proveriš i bez korišćenja Moavrove forumule:
[dispmath]z^2=\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]z^3=z^2\cdot z=\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=-1[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad z^{3n}=\left(-1\right)^n[/dispmath][dispmath]z^{1000}=z^{999}\cdot z=z^{3\cdot333}\cdot z=\left(-1\right)^{333}\cdot z=-z=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath]
Uvrštavanjem tog izraza u [inlmath]z^{1000}+\frac{1}{z^{1000}}[/inlmath] dobija se [inlmath]-1[/inlmath].