MATEMANIJA

Treba naci proizvod svih resenja jednacine:
[dispmath]z\cdot\overline z+1=-i\cdot\left(z-\overline z\right)[/dispmath]
Poceo sam:
[dispmath](x+yi)\cdot (x-yi)+1=-i\cdot (x+yi-(x-yi))[/dispmath][dispmath]x^2-y^2\cdot i^2+1=-i\cdot (x+yi-x+yi)[/dispmath][dispmath]x^2+y^2+1=2y[/dispmath]
Negde sam pogresio? Kako zavrsiti?

Sve dovde OK. E, sad dolazi onaj glavni štos. Prebacimo sve na levu stranu:
[dispmath]x^2+y^2-2y+1=0\\
x^2+\left(y-1\right)^2=0[/dispmath]
što predstavlja jednačinu kružnice s centrom u tački [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] i s poluprečnikom nula. Drugim rečima, to predstavlja – tačku. Tačku s koordinatama [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath]. I to je jedino rešenje.

Isto se može zaključiti i bez poznavanja jednačine kružnice. Pošto je [inlmath]x^2\ge 0[/inlmath] i [inlmath]\left(y-1\right)^2\ge 0[/inlmath], njihov zbir će biti jednak nuli samo onda kad su oba sabirka jednaka nuli, tj. kada je [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]y=1[/inlmath]. Dakle, opet imamo jedinstveno rešenje [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath], tj. [inlmath]z=i[/inlmath].

Stanem kad ne treba

Hvala!