MATEMANIJA

Pozdrav za sve ako moze pomoc oko ovoga zadatka.

Odredi sve kompleksne brojeve [inlmath]z[/inlmath] koji zadovoljavaju uslove, gdje je [inlmath]i[/inlmath] imaginarna jedinica
[dispmath]\left|\frac{z-12}{8i-z}\right|=\frac{5}{3}[/dispmath][dispmath]\left|\frac{4-z}{z-8}\right|=1[/dispmath]
Ja mislim da znam kako se ovo radi ako kompleksan broj [inlmath]z[/inlmath] predstavimo kao [inlmath]z=x+yi[/inlmath] treba ovo sve da svedemo preko modula na sistem od dvije jednacine sa dvije nepoznate [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] i tako nadjemo kompleksan broj [inlmath]z[/inlmath]. Mene sto ovde zbunjuje jeste ovaj razlomak. Kako da ovo pretvorimo da nema razlomka tj da svedemo na neki normalan oblik da mogu onda izraziti modul toga kompleksnog broja jer ja kako sam god probavao uvjek zakomplikujem vjerovatno postoji neki fazon. Ne znam moze li se ovaj razlomak pisati posebno sa dvije apsloutne vrijednosti pa onda da se ovo olaksa nekako. Jer kada pokusam mnoziti sa konjugovano kompleksnim brojem jos vise to zakomplikujem.. Pe eto ako neko moze neka pomaze

Jedan od načina je da radiš sa ovim ovako kako je dato (pokazaću na drugom primeru):
[dispmath]\left|\frac{4-z}{z-8}\right|=1[/dispmath][dispmath]\left|\frac{4-z}{z-8}\right|=\left|\frac{4-x-iy}{x+iy-8}\right|=\left|\frac{4-x-iy}{x-8+iy}\right|=\left|\frac{(4-x-iy)(x-8-iy)}{(x-8+iy)(x-8-iy)}\right|[/dispmath][dispmath]=\left|\frac{-x^2+12x-y^2-32+4iy}{(x-8)^2+y^2}\right|=\left|\frac{-x^2+12x-y^2-32}{(x-8)^2+y^2}+\frac{4y}{(x-8)^2+y^2}i\right|[/dispmath][dispmath]=\sqrt{\left(\frac{-x^2+12x-y^2-32}{(x-8)^2+y^2}\right)^2+\left(\frac{4y}{(x-8)^2+y^2}\right)^2}=1[/dispmath]
Slično tako i za prvu jednakost, pa se dobije sistem po [inlmath]x,y[/inlmath].

Ipak, mnogo jednostavnije je ako se oslobodiš razlomka.

Pokažimo da važi:
[dispmath]\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}[/dispmath]
Ako je [inlmath]z_1=x_1+iy_1[/inlmath] i [inlmath]z_2=x_2+iy_2[/inlmath] treba pokazati sledeće:
[dispmath]\left|\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\right|=\sqrt{\frac{x_1^2+y_1^2}{x_2^2+y_2^2}}[/dispmath]
[dispmath]\left|\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\right|=\left|\frac{(x_1+i y_1)(x_2-iy_2)}{x_2^2+y_2^2}\right|=\left|\frac{x_1x_2-iy_2x_1+iy_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\right|=[/dispmath][dispmath]=\left|\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{-y_2x_1+y_1x_2}{x_2^2+y_2^2}\right|=\sqrt{\left(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\right)^2+\left(\frac{-y_2x_1+y_1x_2}{x_2^2+y_2^2}\right)^2}=[/dispmath][dispmath]=\sqrt{\frac{(x_1x_2+y_1y_2)^2+(-y_2x_1+y_1x_2)^2}{\left(x_2^2+y_2^2\right)^2}}=\frac{\sqrt{x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2+y_1^2x_2^2+x_1^2y_2^2}}{x_2^2+y_2^2}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\sqrt{x_1^2\left(x_2^2+y_2^2\right)+y_1^2\left(x_2^2+y_2^2\right)}}{x_2^2+y_2^2}=\frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{\frac{x_1^2+y_1^2}{x_2^2+y_2^2}}[/dispmath]
Otuda, polazne izraze možeš da svedeš na:
[dispmath]3|z-12|=5|8i-z|[/dispmath][dispmath]|4-z|=|z-8|[/dispmath]
Dalje si već sam naveo kako se može raditi.

Inače, postupkom koji je Milovan upotrebio u prvom načinu koji je pokazao, kada je i brojilac i imenilac kompleksnog razlomka pomnožio konjugovano-kompleksnom vrednošću izraza u imeniocu, [inlmath]\frac{4-x-iy}{x-8+iy}\cdot\frac{x-8-iy}{x-8-iy}[/inlmath], postižemo to da u imeniocu dobijemo realnu vrednost, nakon čega razlomak možemo razložiti na zbir realnog i imaginarnog dela.

Da je [inlmath]\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}[/inlmath] lako možeš zaključiti i ako znaš formulu za deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:
[dispmath]z_1=\left|z_1\right|\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right),\quad z_2=\left|z_2\right|\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\frac{z_1}{z_2}=\frac{\left|z_1\right|\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)}{\left|z_2\right|\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)}=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\left[\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\right][/dispmath]
odakle vidimo da [inlmath]\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}[/inlmath] predstavlja modul kompleksnog broja [inlmath]\frac{z_1}{z_2}[/inlmath].

Hvala Milovane i Daniele.Milovane sto se tice ovoga prvoga nacina bez oslobodjenja razlomaka mnogo je to kompilikovano veoma je lako tu pogrjesiti. Ovo je zadatak sa prijemnog a i nemam ja vremena toliko to raditi tako da je ovaj drugi nacin dosta prakticniji i brzi.Ja sam bio i predpostavio da se moze osloboditi razlomaka ali nisam znao za ovo pravilo tj da ovo vazi sto si ti dokazao.A Daniele sto se tice toga tvoga slabo tu sta razumijem jer jos nismo ucili trigonometrijski oblik kompleksog broja to se radi u 4-tom srednje.

Ako uzmemo da je [inlmath]z=x+yi[/inlmath] pa sredimo [inlmath]3|z-12|=5|8i-z|[/inlmath] i [inlmath]|4-z|=|z-8|[/inlmath]
[dispmath]|4-z|=|z-8|[/dispmath][dispmath]|4-x-yi|=|x+yi-8|[/dispmath][dispmath]\sqrt{(4-x)^2+y^2}=\sqrt{(x-8)^2+y^2}[/dispmath][dispmath](4-x)^2+\cancel{y^2}=(x-8)^2+\cancel{y^2}[/dispmath][dispmath](4-x)^2=(x-8)^2[/dispmath]
[dispmath]4-x=x-8[/dispmath][dispmath]2x=12[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=6}[/dispmath]
[dispmath]4\cancel{-x}=\cancel{-x}+8[/dispmath][dispmath]\cancel{4=8}[/dispmath]
Sada iz ovoga vidimo da postoji samo jedno [inlmath]x[/inlmath] pa onda ga uvrstimo u drugu jednacinu
[dispmath]3|z-12|=5|8i-z|[/dispmath][dispmath]3|x-12+yi|=5|-x+(8-y)i|[/dispmath][dispmath]3\sqrt{(x-12)^2+y^2}=5\sqrt{x^2+(8-y)^2}[/dispmath][dispmath]3\sqrt{(6-12)^2+y^2}=5\sqrt{6^2+(8-y)^2}[/dispmath][dispmath]9\left(36+y^2\right)=25\left(36+(8-y)^2\right)[/dispmath][dispmath]324+9y^2=900+1600-400y+25y^2[/dispmath][dispmath]16y^2-400y+2176=0[/dispmath][dispmath]y^2-25y+136=0[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{y_1=8}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{y_2=17}[/dispmath]
I trazeni kompleksni brojevi su [inlmath]\enclose{box}{z_1=6+8i}[/inlmath] i [inlmath]\enclose{box}{z_2=6+17i}[/inlmath].Barem tako je ispalo po mome racunu

A može se, naravno, i proveriti uvrštavanjem u početne jednačine:
[dispmath]\left|\frac{z-12}{8i-z}\right|=\frac{5}{3}\quad\land\quad\left|\frac{4-z}{z-8}\right|=1[/dispmath]
[inlmath]z=6+8i:[/inlmath]
[dispmath]\left|\frac{6+8i-12}{\cancel{8i}-6-\cancel{8i}}\right|=\frac{5}{3}\quad\land\quad\left|\frac{4-6-8i}{6+8i-8}\right|=1[/dispmath][dispmath]\left|\frac{-6+8i}{-6}\right|=\frac{5}{3}\quad\land\quad\left|\frac{-2-8i}{-2+8i}\right|=1[/dispmath][dispmath]\left|1-i\frac{4}{3}\right|=\frac{5}{3}\quad\land\quad\left|\frac{1+4i}{1-4i}\cdot\frac{1+4i}{1+4i}\right|=1[/dispmath][dispmath]\left|1-i\frac{4}{3}\right|=\frac{5}{3}\quad\land\quad\left|\frac{-15+8i}{17}\right|=1[/dispmath][dispmath]\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}\quad\land\quad\sqrt{\frac{15^2}{17^2}+\frac{8^2}{17^2}}=1[/dispmath][dispmath]\frac{1}{3}\sqrt{9+16}=\frac{5}{3}\quad\land\quad\frac{1}{17}\sqrt{225+64}=1[/dispmath][dispmath]\frac{1}{3}\sqrt{25}=\frac{5}{3}\quad\land\quad\frac{1}{17}\sqrt{289}=1[/dispmath][dispmath]\frac{5}{3}=\frac{5}{3}\quad\land\quad\frac{17}{17}=1[/dispmath][dispmath]\top[/dispmath]
Da sad ne pišem, sličan je postupak provere i za [inlmath]z=6+17i[/inlmath].

---

Pokazao bih još jedan način rešavanja jednačine [inlmath]\left(4-x\right)^2=\left(x-8\right)^2[/inlmath], koju si dobio u jednom od koraka. Ti si išao po principu (mada nisi sve detaljno pisao) da korenuješ obe strane,
[dispmath]\sqrt{\left(4-x\right)^2}=\sqrt{\left(x-8\right)^2}[/dispmath]
a zatim, primenjujući [inlmath]\sqrt{x^2}\:\overset{\mbox{def}}{=\!=}\:\left|x\right|[/inlmath],
[dispmath]\left|4-x\right|=\left|x-8\right|[/dispmath][dispmath]4-x=\pm\left(x-8\right)[/dispmath]
i onda si to razložio na jednačine [inlmath]4-x=x-8[/inlmath] i [inlmath]4-x=8-x[/inlmath]. To je sasvim OK.

Drugi način bi bio, da primeniš formulu za kvadriranje binoma:
[dispmath]\left(4-x\right)^2=\left(x-8\right)^2[/dispmath][dispmath]16-8x+\cancel{x^2}=\cancel{x^2}-16x+64[/dispmath][dispmath]8x=48[/dispmath][dispmath]x=6[/dispmath]
Mislim da je ovo drugo jednostavnije.

Provjera je ok. A ovaj drugi nacin je jednostavniji, nema potrebe ovo rastavljati na dva slucaja sada kada znamo da samo jedno [inlmath]x[/inlmath] ima. Ja sam mislo da ce biti dva rjesenja pa da tu kvadratnu jednacinu skratimo

Zadatak: Odrediti sve kompleksne brojeve [inlmath]z[/inlmath] takve da važi:
[dispmath]\left|\frac{z-12}{z-8i}\right|=\frac{5}{3}\qquad\land\qquad\left|\frac{z-4}{z-8}\right|=1[/dispmath] Da li bi neko mogao da mi pomogne oko ovog zadatka? Ja sam išao klasičnom metodom, napisao sam algebarski oblik kompleksnog broja [inlmath]z=x+yi[/inlmath] i izvršio deljenje, pa moduo napisao u obliku [inlmath]\sqrt{\text{Re}^2+\text{Im}^2}[/inlmath]. Međutim, dobije se komplikovan razlomak za realni, i za imaginarni deo, još treba da se kvadrira... Da li postoji neki lakši način? Unapred hvala.

P.S. Zadatak je iz Tangente, za 2. razred opštih gimnazija.

Iskoristi svojstvo [inlmath]\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}[/inlmath] i kreni od druge jednačine, jer iz nje lako možeš odrediti [inlmath]x[/inlmath] budući da se [inlmath]y[/inlmath] skrati.
Zatim dobijenu vrednost [inlmath]x[/inlmath] uvrstiš u prvu jednačinu i odrediš [inlmath]y[/inlmath].

Aha, ne pade mi to svojstvo na pamet.
Hvala puno, sada je već mnogo lakše.