MATEMANIJA

Pozdrav, ne bi trebao ovaj zadatak da pravi mnogo problema ali meni pravi, nije teska oblast.
Mene zanima kako da na najlaksi i najbrzi nacin sredim izraz. Ja sam radio tako sto sam stepen delio sa dva pa to sto dobijem pa to sa dva itd, ali to oduzima mnogo vremena a i ne znam da li je dobro na kraju
Evo zadacica
Odredite realni i imaginarni deo kompleksnog broja
[dispmath]Z=\frac{(1-i)^{82}}{3\cdot (1-i)^{78}-(1+i)^{80}\cdot i^{54}}[/dispmath]

Primeti sledeće:
[dispmath](1-i)^{82}=\left((1-i)^2\right)^{41}=\left(1-2i-1\right)^{41}=-2^{41}i^{41}=-2^{41}i[/dispmath][dispmath](1-i)^{78}=\left((1-i)^2\right)^{39}=\left(1-2i-1\right)^{39}=-2i^{39}= 2^{39}i[/dispmath][dispmath](1+i)^{80}\cdot i^{54}=\left((1+i)^2\right)^{40}\cdot i^{54}=\left(1+2i-1\right)^{39}\cdot i^{54}=2^{40}i^{40}\cdot i^{54}=2^{40}\cdot i^{54}=-2^{40}[/dispmath]
Ceo izraz je otuda jednak:
[dispmath]z=-\frac{2^{41}i}{3\cdot 2^{39}i+2^{40}}=-\frac{4i}{3i+2}=-\frac{4i(-3i+2)}{13}=-\frac{12+8i}{13}=-\frac{12+8i}{13}[/dispmath]
Odavde lako možeš da odrediš realni i imaginarni deo.

Mozes li da mi objasnis samo ovaj poslednji red ? Sta si sa cim sve skracivao te si u nastavku dobio [dispmath]-\frac{4i}{3i+2}[/dispmath] pa si u nastavku dobio u imeniocu [inlmath]13[/inlmath]..ne razumem kako si tu dobio [inlmath]13[/inlmath] :/

Samo je pomnozio nazivnik sa konjugovano kompleksnim brojem.I tada se oslobodio imaginarne jedinice.
[dispmath](2+3i)(2-3i)=4+9=13[/dispmath]

aa jel znas mozda sta je pre toga sve skratio u brojiocu i imeniocu ?

Uočimo da je najmanji stepen dvojke koji figuriše u svakom od sabiraka u brojiocu i u imeniocu [inlmath]2^{39}[/inlmath]. Sve stepene dvojke u tom razlomku izrazimo preko [inlmath]2^{39}[/inlmath]:
[dispmath]-\frac{2^{41}i}{3\cdot 2^{39}i+2^{40}}=-\frac{2^{39}\cdot 2^2i}{3\cdot 2^{39}i+2^{39}\cdot 2}=-\frac{\cancel{2^{39}}\cdot 2^2i}{\cancel{2^{39}}\left(3i+2\right)}=-\frac{4i}{3i+2}[/dispmath]
Sada nam je cilj da ovaj razlomak napišemo kao zbir realnog i imaginarnog dela. Da bismo to učinili, potrebno je prvo da razlomak svedemo na oblik u kom će u imeniocu biti realna vrednost. Da bismo to učinili, potrebno je da i brojilac i imenilac pomnožimo konjugovano-kompleksnom vrednošću imenioca (pri tome se vrednost razlomka, naravno, ne menja, budući da i brojilac i imenilac množimo istom vrednošću):
[dispmath]-\frac{4i}{3i+2}=-\frac{4i}{3i+2}\cdot\frac{3i-2}{3i-2}=-\frac{4i\left(3i-2\right)}{\left(3i\right)^2-2^2}=-\frac{-12-8i}{-9-4}=-\frac{-\left(12+8i\right)}{-13}=-\frac{12+8i}{13}[/dispmath]
I sada, kad u imeniocu imamo realnu vrednost, to lako možemo napisati kao zbir realnog i imaginarnog dela:
[dispmath]-\frac{12}{13}-i\frac{8}{13}[/dispmath]

(Tek sad videh da je Gamma već odgovorio na ovo drugo – hvala, Gamma, ali, kad već napisah, neka ga, nek stoji i ovo moje. )

Znaci, ti si i ovih [inlmath]2^{39}[/inlmath] u imeniocu sto mnozi [inlmath]2[/inlmath] isto skratio sa ovim [inlmath]2^{39}[/inlmath] u brojiocu ? Tj, ovih [inlmath]2^{39}[/inlmath] u brojicuo skracujem sa oba ova [inlmath]2^{39}[/inlmath] u imeniocu ? Shvatam ovo posle toga

Pa, da. To ti je ono pravilo
[dispmath]\frac{a\cdot b}{a\cdot c}=\frac{\cancel a\cdot b}{\cancel a\cdot c}=\frac{b}{c}[/dispmath]
pri čemu ti je ovde [inlmath]a=2^{39}[/inlmath].

Nisam bio siguran da moze i ovih drugih ...kad sam duduk

Hvala svima sto su mi odgovorili