MATEMANIJA

Pozdrav ako moze pomoc oko ovoga zadatka.

Ako su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] kompleksni brojevi takvi da je [inlmath]|a|=|b|=1,\;a\ne b[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] kompleksan broj dokazati da je [inlmath]\frac{1}{a-b}\left(z-ab\overline z-a-b\right)[/inlmath] imaginaran broj.

Problem je u tome sto ne znam kako da pocem i kada uzmem da je [inlmath]z=x+yi[/inlmath] i to uvrstim malo me zbunjuje [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] jer samo imam njihov modul. Tako da ako moze samo idejno rjesenje mislim ideja kako raditi. I jos ovaj pojam imaginaran broj nije mi bas najjasniji,da li to znaci da je to kompleksan broj kod kojega je realni broj [inlmath]0[/inlmath] i samo ima imaginarnu komponentu i imaginarnu jedinicu npr [inlmath]7i[/inlmath]?

Da, imaginaran broj je kompleksan broj kod kojeg je realni deo jednak nuli i on je oblika [inlmath]yi,\;y\in\mathbb{R}[/inlmath]. U kompleksnoj ravni to su brojevi koji se nalaze na imaginarnoj (vertikalnoj) osi.

Zadati izraz pomnoži sa [inlmath]\frac{\;\overline{a-b}\;}{\overline{a-b}}[/inlmath], kako bi u imeniocu dobio realnu vrednost, nakon čega se dokaz svodi na to da je vrednost u brojiocu imaginarna. Prilikom sređivanja iskoristi to da je [inlmath]a\cdot\overline a=1[/inlmath] i [inlmath]b\cdot\overline b=1[/inlmath], što sledi iz podatka da su moduli [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] jednaki jedinici:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\left|a\right|=1\\
\left|a\right|^2=a\cdot\overline a
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad a\cdot\overline a=1\qquad\qquad\left.\begin{array}{l}
\left|b\right|=1\\
\left|b\right|^2=b\cdot\overline b
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad b\cdot\overline b=1[/dispmath]

Inače, zadati izraz je pogrešno napisan – za ovakav izraz ne dobije se da je imaginaran. Proveri da ne treba možda da stoji
[dispmath]\frac{1}{a-b}\left(z{\color{red}+}ab\overline z-a-b\right)[/dispmath]
ili
[dispmath]\frac{1}{a-b}\left({\color{red}-}z-ab\overline z-a-b\right)[/dispmath]

Evo provjerio sam dobro sam prepisao sigurno je onda greska u zadatku. Ali opet mi nije jasno kako da primjenim [inlmath]a\cdot\overline a=1[/inlmath] i [inlmath]b\cdot\overline b=1[/inlmath] dobijem ovo kada pomonzim
[dispmath]\frac{\overline{a-b}\left(z+ab\overline z-a-b\right)}{|a-b|^2}=[/dispmath]
sada pitanje je kako dalje probavao sam samo da uvrstim ovo gore preko a ali ne ide.. I naravno vec si reko da u nazivniku treba da bude realan broj tj modul na kvadrat mora biti realan broj kako do toga doci ?

Gamma je napisao:Evo provjerio sam dobro sam prepisao sigurno je onda greska u zadatku.

OK, preporučujem ti onda da radiš za jedan od ova dva izraza koja sam napisao, jer se za njihove vrednosti dobije da su imaginarne, provereno.

Gamma je napisao:sada pitanje je kako dalje probavao sam samo da uvrstim ovo gore preko a ali ne ide..

Prvo, primeniš osobinu [inlmath]\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}[/inlmath], tj. [inlmath]\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}[/inlmath], tako da [inlmath]\overline{a-b}[/inlmath] rastaviš kao [inlmath]\overline a-\overline b[/inlmath]. Zatim [inlmath]z[/inlmath] napišeš kao [inlmath]x+iy[/inlmath], pomnožiš izraze u tim dvema zagradama (tj. izvršiš unakrsno množenje, kako to već ide), tamo gde ti se pojavi [inlmath]a\cdot\overline a[/inlmath] ili [inlmath]b\cdot\overline b[/inlmath] pišeš umesto toga jedinicu... Na kraju sabirke grupišeš tako da im se realni delovi krate...

Gamma je napisao:I naravno vec si reko da u nazivniku treba da bude realan broj tj modul na kvadrat mora biti realan broj kako do toga doci ?

Misliš, kako doći do toga da je modul na kvadrat realan broj? Pa, modul je već sâm po sebi, po definiciji, realan broj, tako da i njegov kvadrat, kao kvadrat realnog broja, mora biti realan broj.
Ili, da kažem ovako – množenjem kompleksnog broja njegovim konjugovano-kompleksnim parom uvek dobijaš realan broj, tj. dobijaš kvadrat modula tog broja:
[dispmath]z\cdot\overline z=\left(x+iy\right)\overline{\left(x+iy\right)}=\left(x+iy\right)\left(x-iy\right)=x^2-\left(iy\right)^2=x^2-i^2y^2=x^2-\left(-1\right)y^2=x^2+y^2=\left|z\right|^2[/dispmath]
Pošto [inlmath]x,y\in\mathbb{R}[/inlmath], sledi [inlmath]\left|z\right|^2\in\mathbb{R}[/inlmath].

U sustini mislo sam na to ali tacnije mi nije jasno kako preko ovoga gore doci da je ovaj nazivnik [inlmath]|a-b|^2[/inlmath] jednak realnom broj,mora biti ali kako doci do tacne vrijednosti.Sada ne znam kada kaze dokazati moram li tacno dobiti neki imaginaran broj ili moze ostati imaginaran broj korz ovaj moul(realan broj). Evo i kada ja ovo sredim sta dobijem
[dispmath]\frac{yi\overline a-2byi-b\overline a+ayi+a\overline b}{|a-b|^2}=[/dispmath]
e sad po mome trebalo bi da iz [inlmath]a\overline b-b\overline a[/inlmath] dobijemo imaginaran broj ponovo [inlmath]-2bxi+2ayi[/inlmath]

pa tek onda
[dispmath]\frac{yi\overline a-2byi+ayi+2ayi-2bxi}{|a-b|^2}=[/dispmath]
I dalje ne znam valjda u brojilcu treba da bude imaginaran broj kako sta ? Ovo sto sam radio 99% nije tacno morao sam malo lupati jer ne zna kako radio sam sto mi je prvo palo na pamet

Gamma je napisao:U sustini mislo sam na to ali tacnije mi nije jasno kako preko ovoga gore doci da je ovaj nazivnik [inlmath]|a-b|^2[/inlmath] jednak realnom broj,mora biti ali kako doci do tacne vrijednosti.Sada ne znam kada kaze dokazati moram li tacno dobiti neki imaginaran broj ili moze ostati imaginaran broj korz ovaj moul(realan broj).

Ne možeš doći do tačne vrednosti, jer ti nije rečeno koliko iznose [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]. Bitno je samo da pokažeš da je taj izraz jednak [inlmath]i[/inlmath] puta nešto, ali uopšte za dokaz nije bitno koliko je to nešto. Znači, kad jednom dobiješ da se u imeniocu nalazi realna vrednost, imenilac od tog trenutka više i ne gledaš, zaboraviš na njega, jer on, kao realna vrednost, nema uticaja na to hoće li vrednost razlomka biti imaginarna ili ne – to onda zavisi isključivo od toga da li je brojilac imaginaran.

Gamma je napisao:Evo i kada ja ovo sredim sta dobijem
[dispmath]\frac{yi\overline a-2byi-b\overline a+ayi+a\overline b}{|a-b|^2}=[/dispmath]

Neki sabirci ti tu fale. Znači, pomnožio si brojilac i imenilac sa [inlmath]\overline{a-b}[/inlmath] (radiću s korigovanim početnim izrazom, kako bi se zaista dobila imaginarna vrednost),
[dispmath]\frac{1}{a-b}\cdot\frac{\overline{a-b}}{\overline{a-b}}\left(z{\color{red}+}ab\overline z-a-b\right)=\frac{\overline a-\overline b}{\left|a-b\right|^2}\left(z+ab\overline z-a-b\right)[/dispmath]
neću dalje pisati ovo [inlmath]\left|a-b\right|^2[/inlmath] u imeniocu, jer, kao što rekoh, ono nema uticaja na imaginarnost izraza koju treba dokazati, tako da ću pisati samo brojilac:
[dispmath]\left(\overline a-\overline b\right)\left(z+ab\overline z-a-b\right)=\overline az+\underbrace{\overline aa}_1b\overline z-\underbrace{\overline aa}_1-\overline ab-\overline bz-a\underbrace{\overline bb}_1\overline z+\overline ba+\underbrace{\overline bb}_1=\\
=\overline az+b\overline z-\cancel 1-\overline ab-\overline bz-a\overline z+\overline ba+\cancel 1=\overline ax+i\overline ay+bx-iby-\overline ab-\overline bx-i\overline by-ax+iay+\overline ba=\\
=\left(\overline a-a\right)x+i\left(\overline a+a\right)y+\left(b-\overline b\right)x-i\left(b+\overline b\right)y-\overline ab+\overline ba[/dispmath]
[inlmath]\overline a-a[/inlmath] je imaginaran (realni delovi se skraćuju), pomnožen realnim [inlmath]x[/inlmath] daje imaginaran broj. Prema tome, sabirak [inlmath]\left(\overline a-a\right)x[/inlmath] je imaginaran.

[inlmath]\overline a+a[/inlmath] je realan (imaginarni delovi se skraćuju), pomnožen realnim [inlmath]y[/inlmath] daje realan broj i pomnožen sa [inlmath]i[/inlmath] daje imaginaran broj. Prema tome, i sabirak [inlmath]i\left(\overline a+a\right)y[/inlmath] je imaginaran.

Na sličan način se i za sabirke [inlmath]\left(b-\overline b\right)x[/inlmath] i [inlmath]i\left(b+\overline b\right)y[/inlmath] može pokazati da su imaginarni.

Ostala je još razlika [inlmath]\overline ba-\overline ab[/inlmath]. Možemo pokazati da ni ona nema realnu komponentu, koristeći osobinu [inlmath]\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}[/inlmath], iz koje, opet, sledi [inlmath]z_1\cdot z_2=\overline{\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}}[/inlmath]:
[dispmath]\overline b\cdot a-\overline a\cdot b=\overline b\cdot a-\overline{\overline{\overline a}\cdot\overline b}=\overline b\cdot a-\overline{a\cdot\overline b}=a\cdot\overline b-\overline{a\cdot\overline b}[/dispmath]
što predstavlja razliku kompleksne i njoj konjugovane vrednosti, pri čemu se realni delovi krate, što znači da ova razlika nema realnu komponentu.

Ovime je dokazano da izraz u brojiocu nema realnu komponentu, tj. da je imaginaran broj, a samim tim i da je vrednost početnog izraza imaginarna.

a za ovo [inlmath]\left(b-\overline b\right)yi[/inlmath] valjda gore kada izvuces minus treba da bude [inlmath]\left(b+\overline b\right)yi[/inlmath] jer gore imamo[inlmath]-byi-\overline byi[/inlmath]. A za ovo ostalo moglo bi se reci da mi je nesto jasno mada treba ovo i razumjeti u potpunosi.Nisam znao da se dokaz svodi na to samo da gore bude bilo kakav imaginaran broj(tacne vrijednosti nema).

Gamma je napisao:a za ovo [inlmath]\left(b-\overline b\right)yi[/inlmath] valjda gore kada izvuces minus treba da bude [inlmath]\left(b+\overline b\right)yi[/inlmath] jer gore imamo[inlmath]-byi-\overline byi[/inlmath].

U pravu si, pogreših u kucanju. Evo ispravio sam. Hvala na zapažanju.

Gamma je napisao:Nisam znao da se dokaz svodi na to samo da gore bude bilo kakav imaginaran broj(tacne vrijednosti nema).

Pa, da, u zadatku upravo tako i piše – „dokazati da je (taj izraz) imaginaran broj“. Nigde nije rečeno da treba naći njegovu tačnu vrednost.

Evo kada smo vec tu da ne ostavljam za poslije. Inace ja se pogubim u ovim tezim zadacima.Ovu razliku [inlmath]\overline b\cdot a-\overline a\cdot b[/inlmath] ja sam dokazao na drugi nacin da je to imaginaran broj samo uzmem proizvodljno za [inlmath]b=k+li[/inlmath] i [inlmath]a=o+pi[/inlmath] i to kada sredim izmnozim i dobijem imaginaran broj. E sada ne znam ovaj zadatak sam nasao sa nekoga takmicenja za 2 razred srednje skole tj da li bi oni priznali ovaj moj nacin jer ta komisija ima uvjek ta neka svoja pravila. Naravno nije mi jasna tvoja formula, mislim ono kako sta ne razumijem je nikako tacnije aj ako ti nije mrsko posalji neki link ako ima dokaz ovoga ne vrijedi ovo uciti napamet. Mislim na ove dvije formule preko kojih si dokazo da je ta razlika imaginaran broj.

Gamma je napisao:Ovu razliku [inlmath]\overline b\cdot a-\overline a\cdot b[/inlmath] ja sam dokazao na drugi nacin da je to imaginaran broj samo uzmem proizvodljno za [inlmath]b=k+li[/inlmath] i [inlmath]a=o+pi[/inlmath] i to kada sredim izmnozim i dobijem imaginaran broj. E sada ne znam ovaj zadatak sam nasao sa nekoga takmicenja za 2 razred srednje skole tj da li bi oni priznali ovaj moj nacin jer ta komisija ima uvjek ta neka svoja pravila.

Ne vidim nijedan razlog zašto ne bi priznali, to je takođe sasvim validan dokaz.

Gamma je napisao:Naravno nije mi jasna tvoja formula, mislim ono kako sta ne razumijem je nikako tacnije aj ako ti nije mrsko posalji neki link ako ima dokaz ovoga ne vrijedi ovo uciti napamet. Mislim na ove dvije formule preko kojih si dokazo da je ta razlika imaginaran broj.

Misliš na ovu formulu?
[dispmath]\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}[/dispmath]
To možeš dokazati na isti način na koji si dokazivao ovo malopre. Napišeš [inlmath]z_1[/inlmath] kao [inlmath]x_1+iy_1[/inlmath], a [inlmath]z_2[/inlmath] kao [inlmath]x_2+iy_2[/inlmath]:
[dispmath]\overline{\left(x_1+iy_1\right)\cdot\left(x_2+iy_2\right)}=\overline{x_1+iy_1}\cdot\overline{x_2+iy_2}[/dispmath][dispmath]\overline{x_1x_2+ix_1y_2+ix_2y_1+i^2y_1y_2}=\left(x_1-iy_1\right)\left(x_2-iy_2\right)[/dispmath][dispmath]\overline{\left(x_1x_2-y_1y_2\right)+i\left(x_1y_2+x_2y_1\right)}=x_1x_2-ix_1y_2-ix_2y_1+i^2y_1y_2[/dispmath][dispmath]\left(x_1x_2-y_1y_2\right)-i\left(x_1y_2+x_2y_1\right)=\left(x_1x_2-y_1y_2\right)-i\left(x_1y_2+x_2y_1\right)[/dispmath][dispmath]\top[/dispmath]
A može se dokazati i tako što se [inlmath]z_1[/inlmath] zapiše kao [inlmath]\rho_1e^{i\varphi_1}[/inlmath], a [inlmath]z_2[/inlmath] kao [inlmath]\rho_2e^{i\varphi_2}[/inlmath]:
[dispmath]\overline{\rho_1e^{i\varphi_1}\cdot\rho_2e^{i\varphi_2}}=\overline{\rho_1e^{i\varphi_1}}\cdot\overline{\rho_2e^{i\varphi_2}}[/dispmath][dispmath]\overline{\rho_1\rho_2e^{i\left(\varphi_1+\varphi_2\right)}}=\rho_1e^{-i\varphi_1}\cdot\rho_2e^{-i\varphi_2}[/dispmath][dispmath]\rho_1\rho_2e^{-i\left(\varphi_1+\varphi_2\right)}=\rho_1\rho_2e^{-i\left(\varphi_1+\varphi_2\right)}[/dispmath][dispmath]\top[/dispmath]
Inače, ta formula spada u one za koje se (pretpostavljam) od tebe očekuje da ih znaš i bez izvođenja. A i nije je teško zapamtiti, vrlo je logična.

---

A onu drugu formulu, [inlmath]z_1\cdot z_2=\overline{\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}}[/inlmath], izveo sam iz prethodne formule na sledeći način:
[dispmath]\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}[/dispmath]
Zamenimo levu i desnu stranu jednakosti:
[dispmath]\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}=\overline{z_1\cdot z_2}[/dispmath]
[inlmath]z_1[/inlmath] i [inlmath]z_2[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]\overline{z_1}[/inlmath] i [inlmath]\overline{z_2}[/inlmath], respektivno:
[dispmath]\overline{\overline{z_1}}\cdot\overline{\overline{z_2}}=\overline{\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}}[/dispmath][dispmath]z_1\cdot z_2=\overline{\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}}[/dispmath]