MATEMANIJA

Prijemni ispit GRF – 2. jul 2013.
13. zadatak

Ako je [inlmath]i^2=-1[/inlmath], onda je [inlmath]\displaystyle\frac{(1-i)^{11}}{(1+i)^5}[/inlmath] jednako?
Odgovor kaze [inlmath]8[/inlmath].

Nemam neko znanje sa imaginarnim brojevima i nemam pojma kako ovaj zadatak da rijesim. Ima li neko odgovor?

Da li si čuo sa trigonometrijski oblik kompleksnog broja? Preko toga se radi i mislim najjednostavnije ti je tako.

Nazalost, nisam cuo za to. Moze neko objasnjenje?

Ako niste radili trigonometrijski oblik, bolje da te time ne zbunjujemo (a ako te baš zanima, ima na ovom forumu dosta tema u kojima je bilo reči o tome, a ako te zanima sve od samog starta, možeš pokrenuti zasebnu temu o trigonometrijskom obliku i objasnićemo). Ovaj zadatak se može sasvim jednostavno (možda čak i jednostavnije) uraditi i bez svođenja na trigonometrijski oblik.

Brojilac napiši kao
[dispmath](1-i)^{11}=(1-i)^{2\cdot5+1}=\left[(1-i)^2\right]^5\cdot(1-i)=\left(1-2i+i^2\right)^5\cdot(1-i)=\\
=\left(\cancel1-2i-\cancel1\right)^5\cdot(1-i)=(-2)^5\cdot i^5\cdot(1-i)=(-2)^5\cdot i\cdot(1-i)=-2^5\left(i-i^2\right)=-2^5(1+i)[/dispmath] Za imenilac je još i lakše, to prepuštam tebi...

Evo sada sam i ja pogledo ovo i jednostavnije je nego što sam ja mislio. I ne treba ti trigonometrijski oblik. Samo sam te zbunio s tim bezveze..

Evo da napisem i za imenilac
[dispmath](1+i)^5\\
(1+i)^{2\cdot2+1}\\
\left[(1+i)^2\right]^2\cdot(1+i)\\
\left(1+2i+i^2\right)^2\cdot(1+i)\\
\left(\cancel1+2i\cancel{-1}\right)^2\cdot(1+i)\\
2^2\cdot i^2\cdot(1+i)\\
2^2\cdot(-1)\cdot(1+i)\\
\underline{-2^2(1+i)}[/dispmath] I kada podjelimo brojilac sto je Daniel uradio i imenilac, dobijemo:
[dispmath]\frac{-2^5\cdot\cancel{(1+i)}}{-2^2\cdot\cancel{(1+i)}}[/dispmath][dispmath]2^3=8[/dispmath]