MATEMANIJA

Radi se o 9. zadatku sa prijemnog ispita za Gradjevinski fakultet u Beogradu iz 2013-e godine, i zadatak nosi 5 bodova, a on glasi:

Broj komplesnih brojeva [inlmath]z=x+iy[/inlmath] ([inlmath]x,y\in\mathbb{R}[/inlmath]), za koje vazi jednakost [inlmath]|z+3|-\overline z=2-i[/inlmath], jednak je:
Odgovor kaze [inlmath]0[/inlmath]

Znam da je [inlmath]\overline z[/inlmath] konjugovani broj (bar mislim da jeste), ali nismo nikada radili sa njime, pa nemam pojma kako bi dosao do rjesenja.

Ovo [inlmath]|z+3|[/inlmath] rastaviš kao modul kompleksnog broja. Sve središ i izjednačiš realnu i imaginarnu komponentu. I [inlmath]\overline z[/inlmath] jeste konjugovano kompleksan broj samo staviš [inlmath]-[/inlmath] umjesto plusa.

Malo sam zaboravio ovu oblast, tako da nemoj uzimati ovo kao tačno.
Zamenom [inlmath]z=x+yi[/inlmath] u polaznu jednačinu dobijam:
[dispmath]\sqrt{(x+3)^2+y^2}=x+2-(1+y)i[/dispmath] Valjda je do sada ok. Kako nam je sa leve strane neki realan pozitivan broj, zaključujemo da onda i desna strana mora biti realan broj, a to je moguće samo ako je imaginarni deo kompleksnog broja sa desne strane jednak [inlmath]0[/inlmath], tj. [inlmath]y=-1[/inlmath]. Zamenom [inlmath]y[/inlmath] sa [inlmath]-1[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\sqrt{(x+3)^2+1}=x+2[/dispmath] Ja sam dalje to rešavao i dobio da je [inlmath]x=-3[/inlmath]. Kada sam zamenio kompleksan broj [inlmath]-3-i[/inlmath] u početni izraz, vidimo da ni ovaj broj ne ispunjava uslove zadatka.

Mislim da si dobro uradio zadatak. Zapravo to se svodi na onu gore priču što sam ja spominjo.

Zapravo, Miladine, ako ćemo baš precizno, kao rešenje jednačine [inlmath]\sqrt{(x+3)^2+1}=x+2[/inlmath] se, kako si i sam zaključio, ne može dobiti [inlmath]x=-3[/inlmath], jer bismo uvrštavanjem [inlmath]x=-3[/inlmath] nazad u tu jednačinu dobili [inlmath]\sqrt{(-3+3)^2+1}=-3+2[/inlmath], to jest [inlmath]1=-1[/inlmath], što, naravno, nije tačno. Gde je greška?

Greška je u tome što nisi pre kvadriranja obe strane postavio uslov koji se tada mora postaviti, a koji glasi: pošto je leva strana jednačine [inlmath]\ge0[/inlmath] (kvadratni koren), znači da mora biti [inlmath]\ge0[/inlmath] i desna strana jednačine, [inlmath]x+2[/inlmath]. Dakle, uslov koji postavljamo pre kvadriranja glasi [inlmath]x+2\ge0[/inlmath], tj. [inlmath]x\ge-2[/inlmath].
E, onda to kvadriramo,
[dispmath](x+3)^2+1=(x+2)^2\\
\cancel{x^2}+6x+10=\cancel{x^2}+4x+4\\
2x=-6\\
x=-3[/dispmath] što ne zadovoljava prethodno postavljeni uslov [inlmath]x\ge-2[/inlmath], iz čega zaključujemo da jednačina nema rešenja.