MATEMANIJA

Može li neko da mi objasni kako se postepeno rešava ovaj tip jednačine i kako unapred da znam koliko rešenja ima?
[dispmath]x^2=16\\ \text{ili}\\x^4=-1[/dispmath]
Gde [inlmath]x[/inlmath] pripada skupu kompleksnih brojeva.

Prepravka [inlmath]x^2=-1[/inlmath]

Što se tiče jednačine [inlmath]x^2=-1[/inlmath] jednostavno je korjenuješ i dobiješ [inlmath]x=\pm i[/inlmath] i to su dva jedina kompleksna rješenja te jednačine. A za jednačinu [inlmath]x^4=16[/inlmath] imaš dva kompleksna rješenja i dva realna.

To znam i sam, ali moje pitanje je kako dolazim do kompleksnih resenja za [inlmath]x^4=16[/inlmath] ?

Molim te, koristi Latex (tačka 13. Pravilnika). Uputstvo za Latex imaš ovde. Nemoj citirati prethodne poruke bez potrebe (tačka 15. Pravilnika).

Kada korenuješ kompleksne brojeve, pogodno ih je zapisati u obliku modula i argumenta. Za broj [inlmath]16[/inlmath] modul će biti [inlmath]16[/inlmath], a argument [inlmath]2k\pi[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj:
[dispmath]x^4=16\cdot e^{i2k\pi}[/dispmath]
[inlmath]n[/inlmath]-ti koren tog broja tražimo tako što nađemo [inlmath]n[/inlmath]-ti koren njegovog modula, a argument podelimo sa [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]x=\sqrt[4]{16e^{i2k\pi}}=\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{e^{i2k\pi}}=2e^{i\frac{k\pi}{2}}[/dispmath]
i onda imamo četiri slučaja:
[dispmath]\begin{array}{lll}
k=4m,\;m\in\mathbb{Z} & \Rightarrow & z_1=2e^{i\frac{k\pi}{2}}=2e^{i\frac{4m\pi}{2}}=2e^{i2m\pi}=2\\
k=4m+1,\;m\in\mathbb{Z} & \Rightarrow & z_2=2e^{i\frac{k\pi}{2}}=2e^{i\frac{\left(4m+1\right)\pi}{2}}=2e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2m\pi\right)}=2i\\
k=4m+2,\;m\in\mathbb{Z} & \Rightarrow & z_3=2e^{i\frac{k\pi}{2}}=2e^{i\frac{\left(4m+2\right)\pi}{2}}=2e^{i\left(\pi+2m\pi\right)}=-2\\
k=4m+3,\;m\in\mathbb{Z} & \Rightarrow & z_4=2e^{i\frac{k\pi}{2}}=2e^{i\frac{\left(4m+3\right)\pi}{2}}=2e^{i\left(\frac{3\pi}{2}+2m\pi\right)}=-2i
\end{array}[/dispmath]

---

Kod ovih jednostavnijih slučajeva kao što je [inlmath]x^4=16[/inlmath], možeš raditi i na „standardni“ način,
[dispmath]x^4=16\quad\Rightarrow\quad x^2=4\;\lor\;x^2=-4[/dispmath][dispmath]x^2=4\quad\Rightarrow\quad x=2\;\lor\;x=-2\\
x^4=-4\quad\Rightarrow\quad x=2i\;\lor\;x=-2i[/dispmath]

Chola je napisao:i kako unapred da znam koliko rešenja ima?

Za kompleksnu jednačinu [inlmath]x^n=a[/inlmath] imaš [inlmath]n[/inlmath] kompleksnih rešenja (osim kada je [inlmath]a=0[/inlmath], jer tada imaš samo jedno rešenje – nulu).
Dakle, koliki je stepen nepoznate [inlmath]x[/inlmath] na levoj strani jednačine – toliko imaš rešenja jednačine.

Puno hvala na odgovoru, potrudicu se da se ubuduce drzim pravilnika